@ccueil Colles

Convergence de Série harmonique alternée


On considère la suite $(u_n)$ définie par la somme $u_n=\dsp\sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^k}{k}$.
  1. En calculant les premiers termes de cette suite, montrer qu'elle n'est pas monotone.
  2. On pose $v_n=u_{2n}$ et $w_n=u_{2n+1}$, Montrer que ces suites sont adjacentes. Que peut-on en conclure ?

Correction
  1. On a $u_1=-1$, $u_2=-1+\dfrac12=-\dfrac12$ et $u_3=-1+\dfrac12-\dfrac13=-\dfrac56$.
    Ainsi, $u_1<u_2$ mais $u_3<u2$. La suite n'est pas ni croissante, ni décroissante.

  2. \[\begin{array}{ll}
  v_{n+1}-v_n&=u_{2(n+1)}-u_{2n}\\[.8em]
  &=\dsp\sum_{k=1}^{2n+2}\dfrac{(-1)^k}{k}
  -\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^k}{k} \\[2em]
  &=\dfrac{(-1)^{2n+2}}{2n+2}+\dfrac{(-1)^{2n+1}}{2n+1} \\[1em]
  &=\dfrac{1}{2n+2}+\dfrac{-1}{2n+1}
  =\dfrac{-1}{(2n+2)(2n+1)}<0
  \enar\]

    ce qui montre que $\left( v_n\rp$ est décroissante.
    De même,
    \[\begin{array}{ll}
  w_{n+1}-w_n&=u_{2(n+1)+1}-u_{2n+1}=u_{2n+3}-u_{2n+1}\\[.8em]
  &=\dsp\sum_{k=1}^{2n+3}\dfrac{(-1)^k}{k}
  -\sum_{k=1}^{2n+1}\dfrac{(-1)^k}{k} \\[2em]
  &=\dfrac{(-1)^{2n+3}}{2n+3}+\dfrac{(-1)^{2n+2}}{2n+2} \\[1em]
  &=\dfrac{-1}{2n+3}+\dfrac{1}{2n+2}
  =\dfrac{1}{(2n+3)(2n+2)}>0
  \enar\]

    ce qui montre que la suite $\left( w_n\rp$ est croissante.

    Enfin, $w_n-v_n=u_{2n+1}-u_{2n}=\dfrac{(-1)^{2n+1}}{2n+1}$ et donc, $\dsp\lim_{n\to+\infty} w_n-v_n=0$.


    On déduit des trois résultats prcédents que $\left( v_n\rp$ et $\left( w_n\rp$ sont adjacentes et que, en particulier ces deux suites sont convergentes vers la même limite $l$.

    De plus, comme $\left( v_n\rp$ et $\left( w_n\rp$ sont les deux sous-suites extraites de $\left( u_n\rp$ de rangs respectivement pairs et impairs, on en déduit que $\left( u_n\rp$ converge aussi vers la même limite.


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