@ccueil Colles

Convergence de sommes de type Riemann


  1. Soit $f:[0;1]\to\R$ telle que $\dsp\lim_{x\to0}f(x)=0$.
    Montrer que
    \[\forall\epsilon>0,\exists N\n\N,\forall n\geqslant N, 
  \left|\sum_{k=0}^n\dfrac{k}{n^2}f\lp\dfrac{k}{n^2}\rp\right|\leqslant\epsilon\]


  2. Soit $g:[0;1]\to\R$ dérivable en 0. Étudier la suite $\left( u_n\rp$ définie par
    \[u_n=\sum_{k=0}^n g\kp\dfrac{k}{n^2}\rp\]


Correction
  1. Si on arrive à majorer "convenablement" $\left|f\lp\dfrac{k}{n^2}\rp\right|$ par $M>0$, on aura alors par l'inégalité triangulaire
    \[\begin{array}{ll}\left|\dsp\sum_{k=0}^n\dfrac{k}{n^2}f\lp\dfrac{k}{n^2}\rp\right|
  &\leqslant\dsp\sum_{k=0}^n\dfrac{k}{n^2}f\left|\lp\dfrac{k}{n^2}\rp\right|\\[.7em]
  &\leqslant\displaystyle M\sum_{k=0}^n\dfrac{k}{n^2}\\[.7em]
  &\leqslant\displaystyle M\sum_{k=0}^n\dfrac{n}{n^2}  
  =M\dfrac1n\sum_{k=0}^n1=M
  \enar\]

    D'après ce calcul, il suffit donc d'arriver à majorer $f$ par $\epsilon$, ce qui est possible d'après l'hypothèse sur la limite de $f$ en 0.
    Plus précisément, soit $\epsilon>0$, alors il existe $\eta>0$ tel que, pour tout $|x|\leqslant\eta$, $\left|f(x)\right|<\epsilon$.
    Pour tout $\eta>0$, soit donc $N\in\N$ tel que $\dfrac1N<\eta$, alors, pour tout $n\geqslant N$ et tout $0\leqslant k\leqslant n$, on a
    \[\dfrac{k}{n^2}\leqslant\dfrac{n}{n^2}=\dfrac1n\leqslant\dfrac1N\leqslant\eta
  \Longrightarrow \left|f\lp\dfrac{k}{n^2}\rp\right|\leqslant\epsilon\]


    Le premier calcul ci-dessus permet alors de conclure que,
    \[\begin{array}{ll}\left|\dsp\sum_{k=0}^n\dfrac{k}{n^2}f\lp\dfrac{k}{n^2}\rp\right|\leqslant\epsilon\]


    On déduit de ce résultat que
    \[\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n\dfrac{k}{n^2}f\lp\dfrac{k}{n^2}\rp=0\]


  2. Comme la fonction $g$ est dérivable en 0, on a l'approximation affine (ou DL d'ordre 1),
    \[g(x)=g(0)+xg'(0)+x\phi(x)\ ,\text{ o\`u } \lim_{x\to0}\phi(x)=0\]

    On a alors en utilisant ce développement,
    \[\begin{array}{ll}u_n&=\dsp\sum_{k=0}^n \Bigl( g(0)+\dfrac{k}{n^2}g'(0)+\dfrac{k}{n^2}\phi\lp\dfrac{k}{n^2}\rp\Bigr) \\[.8em]
  &=(n+1)g(0)+\dfrac{n(n+1)}{2n^2}g'(0)+\dsp\sum_{k=0}^n\dfrac{k}{n^2}\phi\lp\dfrac{k}{n^2}\right)
  \enar\]

    D'après la question précédente, la dernière somme tend vers 0, et on a donc,
    • si $g(0)\not=0$, $u_n\sim(n+1)g(0)$ et $\left( u_n\rp$ diverge vers $\pm\infty$ selon le signe de $g(0)$;
    • si $g(0)=0$, alors $u_n\sim\dfrac{n(n+1)}{2n^2}g'(0)$ et donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=\dfrac{g'(0)}{2}$


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