Couple de variables uniformes


Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires suivant une loi uniforme sur $\bigl\{0,\dots,n\bigr\}^2$.
  1. Déterminer la loi de $X$, la loi de $Y$, la loi de $X+Y$.
  2. $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?

Correction
  1. Le couple $\left( X,Y\rp$ suit la loi uniforme sur $\bigl\{0,\dots,n\bigr\}$ signifie que $X$ et $Y$ sont à valeurs dans $\bigl\{0,\dots,n\bigr\}$ et que, pour tout $(i,j)\in\bigl\{0,\dots,n\bigr\}^2$,
    \[P\bigl((X,Y)=(i,j)\bigr)=\dfrac1{(n+1)}^2\]


    On a alors, pour tout $k$ de $\{0,\dots,n\}$,
    \[P(X=k)=\sum_{i=0}^n P\big ( (X,Y)=(k,i)\big) =\sum_{i=0}^n \frac{1}{(n+1)^2}=\frac 1{n+1}\]

    $X$ suit donc une loi uniforme sur $\bigl\{0,\dots,n\bigr\}$.

    Par symétrie, il en est de même de $Y$.

    La variable aléatoire $X+Y$ est à valeurs dans $\bigr\{0,\dots,2n\bigl\}$ et pour tout $k$ dans cet intervalle d'entiers, on a
    \[P(X+Y=k)=\sum_{i=0}^k P\big( (X=i,Y=k-i)\big)\]

    Si $k\leq n$, ceci devient égal à
    \[P(X+Y=k)=\sum_{i=0}^k \frac{1}{(n+1)^2}=\frac{k+1}{(n+1)^2}\]

    Si $k>n$, la somme va jusqu'à $n$ (car $i\leq n$) et commence à $k-n$ (car $k-i\leq n$) et donc
    \[P(X+Y=k)=\sum_{i=k-n}^n \frac{1}{(n+1)^2}=\frac{2n-k+1}{(n+1)^2}\]

  2. On a, pour tout couple $(i,j)$ de $\bigl\{0,\dots,n\bigr\}$,
    \[P\big( (X=i),(Y=j)\big)=P(X=i)P(Y=j)=\frac{1}{(n+1)^2}\]

    ce qui montre que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes.


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Tag:Couples de variables aléatoires

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