@ccueil Colles

Courbe paramétrée fractions rationnelles


Soit $(C)$ la courbe définie par la représentation paramétrique $\la\begin{array}{ll}
  x(s)=\dfrac{1}{1+s^2} \\[0.3cm]
  y(s)=\dfrac{-s}{1+s^2}
  \enar\right.$, $s\in[0;+\infty[$.
  1. Calculer les dérivées des fonctions $x$ et $y$, puis établir le tableau des variations conjointes de $x$ et $y$.
  2. On note $A$ le point de la courbe lorsque $s=0$, et $B$ le point de la courbe lorsque $s=1$. Déterminer les coordonnées des points $A$ et $B$.
    Préciser la direction de la tangente à la courbe $(C)$ aux points $A$ et $B$.
  3. Tracer alors, en utilisant tous les résultats précédents, la courbe $(C)$.

Correction
  1. $\la\begin{array}{ll}
  x'(s)=\dfrac{-2s}{(1+s^2)^2} \\[0.3cm]
  y'(s)=\dfrac{-(1+s^2)+2s^2}{(1+s^2)^2}
  =\dfrac{s^2-1}{(1+s^2)^2}
  \enar\right.$ d'où,
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
    $s$ & $0$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
    $x'(s)$ & $0$ & & $-$&  &  0 \\\hline
    &1&&&&\\
    $x(s)$ && & \psline{->}(-1,0.5)(1.2,-0.2)
    \rput(0,0){$\frac12$}&  &  \\
    &&&&&0\\\hline
    &0&&&&0\\
    $y(s)$ &&  \psline{->}(-0.6,0.5)(0.6,-0.2)&  
    \psline{->}(0.2,-0.2)(1.4,0.4)& & \\
    &&& $-\frac12$ &&\\\hline
    $y'(s)$ & $-1$ & $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$&  0  \\\hline
  \end{tabular}\]


  2. Lorsque $s=0$, $x(0)=1$ et $y(0)=0$, d'où $A(1;0)$.
    Lorsque $s=1$, $x(1)=\frac12$ et $y(1)=-\frac12$, d'où $B\lp\frac12;-\frac12\rp$.

    En $A$, $x'(0)=0$ et $y'(0)=-1$; ainsi, la tangente en $A$ est verticale.
    En $B$, $x'(1)\not=0$ et $y'(1)=0$; ainsi la tangente en $B$ est horizontale.

  3. \[\psset{unit=4cm,arrowsize=7pt}
  \begin{pspicture}(-0.05,-0.8)(1,0.2)
    \psline{->}(-0.2,0)(1.3,0)
    \psline{->}(0,-0.8)(0,0.3)
    \rput(-0.1,-0.1){$O$}
    \psline{->}(1,0)(1,-0.7)\rput(1,0.1){$1$}
    \psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,-0.5)(0,-0.5)
    \rput(0.5,0.1){$\frac12$}
    \rput(-0.15,-0.5){$-\frac12$}
    \psline{<->}(0.1,-0.5)(0.9,-0.5)
    \psline{->}(0,0)(0,-0.7)
    \parametricplot[plotpoints=1000,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0}{100}{
      1 1 t 2 exp add div
      -1 t mul 1 t 2 exp add div
    }
    \rput(1.06,-0.06){$A$}
    \rput(0.5,-0.56){$B$}
  \end{pspicture}\]




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