Courbe paramétrée fractions rationnelles


Étudier et tracer la courbe d'équations paramétriques:
\[\la\begin{array}{ll} x(t)= t+\dfrac 1t\\ y(t)=t+\dfrac 1{2t^2} \enar\right.\]

pour $t\in\R^*$. On étudiera en particulier la position par rapport aux asymptotes, et la tangente aux points stationnaires.

Correction
On a
\[\la\begin{array}{ll} x'(t)=1-\dfrac1{t^2}=\dfrac{(t-1)(t+1)}{t^2}\\[.8em] y'(t)=1-\dfrac1{t^3}=\dfrac{(t-1)(t^2+t+1)}{t^3} \enar\right.\]

On en déduit le tableau de variations suivant :
\[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline $t$ & $-\infty$ && $-1$ && 0 && 1 && $+\infty$\\\hline $x'(t)$ && $+$ &0& $-$ &\psline(0,-3.9)(0,.3)\,\psline(0,-3.9)(0,.3)& $-$ &0&$+$&\\\hline &&&$-2$&&&&&&\\ x&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&&&&&2&&\\\hline &&&&&&&&&\\ y&&\Large{$\nearrow$}&$\frac12$&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&&&&&$\frac32$&&\\\hline $y'(t)$ && $+$ &2& $+$ &&$-$&0&$+$& \\\hline \end{tabular}\]


On obtient des branches infinies pour $t$ tendant vers $0$ et $\pm \infty$. Commençons par étudier la branche infinie au voisinage de $+\infty$. On a
\[\frac{y(t)}{x(t)}=\frac{t+\frac {1}{2t^2}}{t+\frac 1{t}}\to 1.\]

Ensuite, on a
$$y(t)-x(t)=-\frac 1t+\frac 1{2t^2}\to 0.$$

Ainsi, la droite d'équation $y=x$ est asymptote à la courbe paramétrée, et de plus, puisque $y(t)-x(t)\leq 0$ pour $t$ grand: la courbe est située au-dessous de son asymptote.
De même, pour $t\to-\infty$, la droite d'équation $y=x$ est aussi asymptote à la courbe. Mais cette fois, la courbe sera située au-dessus de l'asymptote.
Étudions maintenant la branche infinie pour $t\to 0^+$. On a:
\[\begin{array}{ll}\dfrac{y(t)}{x(t)}&=\dfrac{t+\frac {1}{2t^2}}{t+\frac 1{t}}\\[1em] &=\dfrac{\frac 1{t^2}\tm(2+t^3)}{\frac 1t\times(1+t^2)}\\[1em] &=\dfrac1t\tm\dfrac{2+t^3}{1+t^2}\to +\infty\enar\]

La courbe admet donc une branche parabolique d'axe $(Oy)$. C'est la même chose pour $t\to 0^-$.
Le tableau nous montre également que la courbe admet une tangente verticale au point $(-2,-1/2)$.
Enfin, le point $(2,3/2)$ est un point singulier. Pour déterminer la tangente à la courbe en ce point, on peut étudier la limite en $1$ de
\[\frac{y(t)-y(1)}{x(t)-x(1)}=\frac{1}{2t}\times\frac{2t^3-3t^2+1}{t^2-2t+1}.\]

C'est une forme indéterminée, mais on peut factoriser les deux polynômes sachant que $1$ est racine de chacun. En réalité, 1 est même racine double, et on peut factoriser l'expression en
\[\frac{y(t)-y(1)}{x(t)-x(1)}=\frac{1}{2t}\times (2t+1)\to \frac32\textrm{ quand }t\to 1.\]

Ainsi, au point $(2,3/2)$, la tangente a pour coefficient directeur $3/2$.
On on peut aussi effectuer ce calcul en utilisant les développements limités: si on note $f(t)=(x(t),y(t))$, alors $f''(1)=(-2,-3)$ dirige la tangente en $(2,3/2)$ et $f^{(3)}(1)=(6,12)$ ne lui est pas colinéaire, et donc qu'on a affaire à un point de rebroussement de première espèce. On obtient finalement la courbe suivante :
\[\psset{unit=0.6cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture*}(-12,-12)(12,12) \psaxes{->}(0,0)(-12,-12)(12,12) \rput(0.05,-0.1){$0$} \parametricplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0.001}{10}{ t 1 t div add t 1 2 t 2 exp mul div add } \parametricplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-10}{0.001}{ t 1 t div add t 1 2 t 2 exp mul div add } \end{pspicture*}\]



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