Décomposition de Fourier d'un signal périodique parabolique


Soit $f$ la fonction 2$\pi$-périodique définie par $f(x)=x^2-\pi^2$ sur $[-\pi;\pi[$.
  1. Donner la série de Fourier de $f$.
  2. Étudier sa convergence
  3. Calculer $\dsp\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^2}$

Correction
Soit $f$ la fonction 2$\pi$-périodique définie par $f(x)=x^2-\pi^2$ sur $[-\pi;\pi[$.
  1. La fonction est 2$\pi$-périodique donc de pulsation $\omega=\dfrac{2\pi}T=1$. De plus, $f$ est paire, donc $b_n=0$, et
    • sa valeur moyenne est
      \[\begin{array}{ll}a_0&=\dfrac{2}{T}\dsp\int_0^\pi f(x)\,dx \\[.8em] &=\dfrac1\pi\dsp\int_0^\pi\left( x^2-\pi^2\rp\,dx\\[.8em] &=\dfrac1\pi\Bigl[\,\dfrac{x^3}3-\pi^2 x\,\Bigr]_0^\pi\\[.8em] &=\dfrac1\pi\lp\dfrac{\pi^3}3-\pi^3\rp=-\dfrac23\pi^2\enar\]


    • Pour tout entier $n>0$, en intégrant par parties,
      \[\begin{array}{ll}a_n&=\dfrac4{2\pi}\dsp\int_0^\pi \left( x^2-\pi^2\rp\cos(nx)\,dx\\[.8em] &=\dfrac2\pi\underbrace{\Bigl[\left( x^2-\pi^2\rp\dfrac{\sin(nx)}n\Bigr]_0^\pi}_{=0} -\dfrac2\pi\dsp\int_0^\pi 2x\dfrac{\sin(nx)}n\,dx\\[.8em] &=-\dfrac4{n\pi}\dsp\int_0^\pi x\sin(nx)\,dx \enar\]

      puis, en intégrant une deuxième fois par parties,
      \[\begin{array}{ll}a_n&=\dsp-\dfrac4{n\pi}\Bigl[x\dfrac{-\cos(nx)}{n}\Bigr]_0^\pi +\dfrac4{n\pi}\int_0^\pi\dfrac{-\cos(nx)}{n}\,dx\\[.8em] &=\dfrac{4\pi\cos(n\pi)}{n^2\pi} -\dfrac4{n^2\pi}\underbrace{\Bigl[\dfrac{\sin(nx)}n\Bigr]_0^\pi}_{=0}\\[.8em] &=\dfrac{4(-1)^n}{n^2}\enar\]

      en utilisant $\cos(n\pi)=(-1)^n$ et $\sin(n\pi)=\sin(0)=0$.
      La fonction $f$ étant continue sur $\R$, on en déduit que pour tout réel $x$,
      \[f(x)=-\dfrac23\pi^2+4\sum_{n\geqslant1}\dfrac{(-1)^n\cos(nx)}{n^2}\]

  2. On a $\left|\dfrac{(-1)^n\cos(nx)}{n^2}\right|<\dfrac1{n^2}$, ce qui montre que la série converge absolument en tout point.
  3. En $x=\pi$, on a alors, comme $(-1)^n\cos(n\pi)=(-1)^n\tm(-1)^n=\lp(-1)^n\rp^2=1$,
    \[f(\pi)=0=-\dfrac23\pi^2+4\sum_{n\geqslant1}\dfrac1{n^2}\]

    et donc,
    \[\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac1{n^2}=\dfrac14\tm\dfrac23\pi^2=\dfrac{\pi^2}{6}\]



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