Décomposition de Fourier d'une exponentielle périodique


Soit $f$ la fonction $2\pi$-périodique telle que $f(x)=e^x$ pour $x\in[-\pi;\pi[$.
  1. Représenter graphiquement $f$ sur $[-3\pi;3\pi]$.
  2. Déterminer la série de Fourier de $f$.
  3. En déduire la valeur de la somme $\dsp\sum_{n\geqslant1}\dfrac{1}{n^2+1}$.

Correction
Soit $f$ la fonction 2$\pi$-périodique définie par $f(x)=e^x$ sur $[-\pi;\pi[$.

  1. \[\psset{xunit=.4cm,yunit=.2cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture}(-11,-2)(12,26) \psline{->}(-11,0)(12,0) \psline{->}(0,-1)(0,25) \psplot{-9.42}{-3.14}{2.718 x 6.28 add exp} \psplot{-3.14}{3.14}{2.718 x exp} \psplot{3.14}{9.42}{2.718 x 6.28 sub exp} \psline(-9.42,-1)(-9.42,1)\rput(-9.42,-2){-$3\pi$} \psline(-3.14,-1)(-3.14,1)\rput(-3.14,-2){-$\pi$} \psline(3.14,-1)(3.14,1)\rput(3.14,-2){$\pi$} \psline(9.42,-1)(9.42,1)\rput(9.42,-2){$3\pi$} \end{pspicture}\]


  2. La fonction est 2$\pi$-périodique donc de pulsation $\omega=\dfrac{2\pi}T=1$.
    Sa valeur moyenne est
    \[\begin{array}{ll}a_0 &=\dfrac1T\dsp\int_{-\pi}^\pi e^x\,dx =\dfrac1{2\pi}\Bigl[\,e^x\,\Bigr]_{-\pi}^\pi\\[1em] &=\dfrac1{2\pi}\left( e^\pi-e^{-\pi}\right) \enar\]


    Pour tout entier $n>0$, en intégrant par parties,
    \[\begin{array}{ll}a_n&=\dfrac2{2\pi}\dsp\int_{-\pi}^\pi e^x\cos(nx)\,dx\\[1.2em] &=\dfrac1\pi\underbrace{\Bigl[e^x\dfrac{\sin(nx)}n\Bigr]_{-\pi}^\pi}_{=0} -\dfrac1\pi\dsp\int_{-\pi}^\pi e^x\dfrac{\sin(nx)}n\,dx\\[2.2em] &=-\dfrac1{n\pi}\dsp\int_{-\pi}^\pi e^x\sin(nx)\,dx \enar\]

    et on trouve ici l'expression des autres coefficients $b_n$:
    \[b_n=\dfrac2{2\pi}\dsp\int_{-\pi}^\pi e^x\sin(nx)\,dx\]

    et donc, d'une part $a_n=-\dfrac1nb_n$, et d'autre part, en intégrant par parties $b_n$,
    \[\begin{array}{ll} b_n= &=\dfrac1\pi\Bigl[e^x\dfrac{-\cos(nx)}n\Bigr]_{-\pi}^\pi -\dfrac1\pi\dsp\int_{-\pi}^\pi e^x\dfrac{-\cos(nx)}n\,dx\\[.8em] &=-\dfrac1{n\pi}\left( e^\pi\cos(n\pi)-e^{-\pi}\cos(-n\pi)\right) +\dfrac1{n\pi}\dsp\int_{-\pi}^\pi e^x\cos(nx)\,dx \enar\]

    Enfin, on y retrouve l'expression de $a_n$ et donc, avec $\cos(n\pi)=\cos(-n\pi)=(-1)^n$, on trouve
    \[b_n=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n\pi}\left( e^\pi-e^{-\pi}\rp+\dfrac1na_n\]

    On a donc obtenu le système
    \[\begin{array}{ll}&\la\begin{array}{lcl} a_n+\dfrac1nb_n&=&0\\[1em] \dfrac1na_n-b_n&=&\dfrac{(-1)^n}{n\pi}\left( e^\pi-e^{-\pi}\right) \enar\right.\\[2.5em] \iff& \la\begin{array}{lcl} na_n+b_n&=&0\\[.5em] a_n-nb_n&=&\dfrac{(-1)^n}\pi\left( e^\pi-e^{-\pi}\right) \enar\right.\enar\]

    d'où on tire
    \[\la\begin{array}{ll} a_n&=\dfrac{(-1)^n\left( e^\pi-e^{-\pi}\right)}{\pi\left( n^2+1\right)}\\[1.2em] b_n&=\dfrac{(-1)^{n+1}n\left( e^\pi-e^{-\pi}\right)}{\pi\left( n^2+1\right)} \enar\right.\]


    On en déduit que pour tout réel $x\not=(2k+1)\pi$, $k\in\Z$,
    \[f(x)=\dfrac1{2\pi}\left( e^\pi-e^{-\pi}\right) +\dfrac1\pi\left( e^\pi-e^{-\pi}\right) \sum_{n\geqslant1} \dfrac{(-1)^n\cos(nx)+(-1)^{n+1}\sin(nx)}{n^2+1}\]

  3. En $x=\pi$, on a
    \[\begin{array}{ll}&\dfrac{f\lp\pi^-\rp+f\lp\pi^+\rp}2 =\dfrac{e^\pi+e^{-\pi}}2\\ &=\dfrac1{2\pi}\left( e^\pi-e^{-\pi}\right) +\dfrac1\pi\left( e^\pi-e^{-\pi}\right) \dsp\sum_{n\geqslant1} \dfrac{1}{n^2+1}\\ &=\dfrac1{2\pi}\left( e^\pi-e^{-\pi}\rp\left(1+ 2\dsp\sum_{n\geqslant1} \dfrac{1}{n^2+1}\right) \enar\]

    duquel on tire que
    \[\sum_{n\geqslant1} \dfrac{1}{n^2+1} =\dfrac12\lp\pi\dfrac{e^\pi+e^{-\pi}}{e^\pi-e^{-\pi}}-1\right) \]



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