Décomposition en éléments simples (bis)


Décomposer en éléments simples $F(X)=\dfrac{X^3+1}{(X-1)^3}$

Correction
Comme $\deg\left( X^3+1\rp=\deg\left( \left( X-1\rp^3\rp$ il y a une partie entière de degré nul, donc une constante, et alors
\[F(X)=\dfrac{X^3+1}{(X-1)^3} =a+\dfrac{b}{X-1}+\dfrac{c}{(X-1)^2}+\dfrac{d}{(X-1)^3}\]


En faisant tendre $X$ vers $+\infty$, on trouve $a=1$.
En multipliant par $(X-1)^3$ puis en faisant $X=1$, on obtient $d=2$, soit
\[F(X)=\dfrac{X^3+1}{(X-1)^3} =1+\dfrac{b}{X-1}+\dfrac{c}{(X-1)^2}+\dfrac{2}{(X-1)^3}\]


On peut alors prendre deux valeurs particulières pour $X$, par exemple:
$X=2$ donne $F(2)=9=1+b+c+2\iff b+c=6$
$X=0$ donne $F(0)=-1=1-b+c-2\iff -b+c=0$
On trouve ainsi $b=c=3$, soit
\[F(X)=\dfrac{X^3+1}{(X-1)^3} =1+\dfrac{3}{X-1}+\dfrac{3}{(X-1)^2}+\dfrac{2}{(X-1)^3}\]



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