@ccueil Colles

Décomposition en éléments simples et somme télescopique


  1. Décomposer en éléments simples $\dfrac{1}{X(X+1)(X+2)}$.
  2. En déduire une expression de la somme $s_n=\dsp\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1(k+2)}$ et sa limite.

Correction
  1. Tous les poles sont simples et donc
    \[\dfrac{1}{X(X+1)(X+2)}
  =\dfrac{a}{X}+\dfrac{b}{X+1}+\dfrac{c}{X+2}
  \]


    En multipliant par $X$, puis en faisant $X=0$, on obtient $a=\dfrac12$.
    De même en multipliant par $X+1$, puis en faisant $X=-1$, on obtient $b=-1$.
    Enfin, en multipliant par $X+2$, puis en faisant $X=-2$, on obtient $c=\dfrac12$.
    Ainsi,
    \[\dfrac{1}{X(X+1)(X+2)}
  =\dfrac12\tm\dfrac{1}{X}-\dfrac{1}{X+1}+\dfrac12\tm\dfrac{1}{X+2}
  \]



  2. \[\begin{array}{ll}
  s_n&\dsp=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1(k+2)}\\[1.5em]
  &\dsp=\dfrac12\sum_{k=1}^n\dfrac1k
  -\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k+1}
  +\dfrac12\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k+2}\\[1.5em]
  &\dsp=\dfrac12\sum_{k=1}^n\dfrac1k
  -\sum_{k=2}^{n+1}\dfrac{1}{k}
  +\dfrac12\sum_{k=3}^{n+2}\dfrac{1}{k}
  \enar\]

    Les termes sommés entre $k=3$ et $k=n$ se téléscopent, laissant alors
    \[\begin{array}{ll}
  s_n&=\dfrac12\lp1+\dfrac12\right)
  -\lp\dfrac12+\dfrac{1}{n+1}\right)
  +\dfrac12\left( \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}\rp\\[1.5em]
  &=\dfrac14-\dfrac12\tm\dfrac{1}{n+1}+\dfrac12\tm\dfrac{1}{n+2}
  \enar\]

    On trouve alors aussi que $\dsp\lim_{n\to+\infty}s_n=\dfrac14$.


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