Décomposition en éléments simples (ter)


Décomposer en éléments simples $F(X)=\dfrac{X^4+1}{(X+1)^2(X^2+1)}$

Correction
Comme $\deg\left( X^4+1\rp=\deg\left( (X+1)^2(X^2+1)\rp$, il y a une partie entière de degré nul, donc une constante, et alors
\[F(X)=\dfrac{X^4+1}{(X+1)^2(X^2+1)} =a+\dfrac{b}{X+1}+\dfrac{c}{(X+1)^2} +\dfrac{dX+e}{X^2+1}\]


En faisant tendre $X$ vers $+\infty$, on trouve $a=1$.
En multipliant par $(X+1)^2$ puis en faisant $X=-1$, on trouve $c=1$.
De même, en mulitpliant par $X^2+1$ puis en faisant $X=i$, on obtient $di+e=\dfrac{2}{(i+1)^2}=\dfrac{2(1-i)^2}{4}=-i$, d'où $d=-1$ et $e=0$.
En choisissant par exemple $X=0$ on peut trouver la dernière inconnue: $F(0)=1=a+b+c+e=1+b+1\iff b=-1$.
En résumé, on a obtenu
\[F(X)=\dfrac{X^4+1}{(X+1)^2(X^2+1)} =1-\dfrac{1}{X+1}+\dfrac{1}{(X+1)^2} -\dfrac{X}{X^2+1}\]


La décomposition dans $\C[X]$ se fait en factorisant $X^2+1=(X-i)(X+i)$ et alors
\[\dfrac{X}{X^2+1}=\dfrac{X}{(X-i)(X+i)} =\dfrac{f}{X-i}+\dfrac{g}{X+i}\]

avec, en multipliant par $X-i$ puis en faisant $X=i$ et de même en multipliant par $X+i$ puis en faisant $X=-i$, $f=g=\dfrac12$.
Ainsi, dans $\C[X]$,
\[F(X)=\dfrac{X^4+1}{(X+1)^2(X^2+1)} =1-\dfrac{1}{X+1}+\dfrac{1}{(X+1)^2} -\dfrac{1/2}{X-i}-\dfrac{1/2}{X+i}\]



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