@ccueil Colles

Décomposition en série de Fourier


Étudier la série de Fourier de la fonction $f$, $2\pi$-périodique, définie par sa représentation graphique suivante:
\[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture*}(-1,-.4)(7.8,1.5)
  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(-.1,0)(7.5,0)
  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,-.1)(0,1.5)
  \psline[linewidth=1.2pt](0,1)(3.14,0)(6.28,1)(9.42,0)
  \psline(3.14,.05)(3.14,-.05)\rput(3.1,-.2){$\pi$}
  \psline(6.28,.05)(6.28,-.05)\rput(6.2,-.2){$2\pi$}
  \psline(-.05,1)(.05,1)\rput(-.2,1){1}
  \rput(-.2,-.2){0}
  \psline[linestyle=dashed](6.28,0)(6.28,1)(0,1)
\end{pspicture*}\]


Correction
$f$ est $2\pi$-périodique et paire, donc $b_n=0$, et
\[\begin{array}{ll}
a_0&\dsp=\dfrac{2}{2\pi}\int_0^\pi f(x)dx
=\dfrac1\pi\int_0^\pi \lp-\dfrac1\pi x+1\right) dx\\[1em]
&=\dfrac1\pi\Bigl[-\dfrac{1}{2\pi}x^2+x\Bigr]_0^\pi
=\dfrac1\pi\left( -\dfrac12\pi+pi\right)
=\dfrac12\enar\]

et pour tout entier $n>0$,
\[a_n=\dfrac{4}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos(n\omega x)dx\]

avec $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=1$, et sur $[0;2\pi]$, $f(x)=-\dfrac1\pi x+1$, et donc
\[\begin{array}{ll}
a_n&\dsp=\dfrac{4}{\pi}\int_0^\pi \lp-\dfrac1\pi x+1\right) \cos(nx)dx
=\dfrac{4}{n\pi}\Bigl[\lp-\dfrac1\pi x+1\rp\sin(nx)\Bigr]_0^\pi
+\dfrac{4}{n\pi^2}\int_0^\pi \sin(nx)dx \\[1em]
&=0-\dfrac{4}{n^2\pi^3}\Bigl[\cos(nx)\Bigr]_0^\pi
=-\dfrac{4}{n^2\pi^3}\Bigl(\cos(n\pi)-1\Bigr)\\[1em]
&=\dfrac{4}{n^2\pi^3}\Bigl(1-(-1)^n\Bigr)
\end{array}
\]

ainsi, $a_{2n}=0$ et $a_{2n+1}=\dfrac{8}{(2n+1)^2\pi^3}$.
Comme $f$ est continue sur $\R$, on peut donc écrire que, pour tout réel $x$,
\[f(x)=\dfrac12
+\dfrac{8}{\pi^3}\sum_{n\geqslant0}\dfrac{\cos\left( (2n+1)x\right)}{(2n+1)^2}\]



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Tag:Série de Fourier

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