@ccueil Colles

Décomposition harmonique d'un signal triangulaire


Soit $f$ la fonction 2$\pi$-périodique et paire définie par, $f(x)=\dfrac\pi2-x$ pour tout $x\in[0;\pi[$.
  1. Déterminer la série de Fourier de $f$.
  2. En déduire la somme $S=\dsp\sum_{n\geqslant1}\dfrac1{(2n+1)^2}$ puis la somme $T=\dsp\sum_{n\geqslant1}\dfrac1{n^2}$.

Correction
    • La fonction est 2$\pi$-périodique, continue sur $\R$ et affine par morceaux avec, pour tout $x\in[0;\pi]$, $f(x)=\dfrac\pi2-x$.
      La fonction est paire et donc, pour tout entier $n\geqslant1$, $b_n=0$
    • sa valeur moyenne est aussi nulle:
      \[\begin{array}{ll}a_0&\dsp=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\,dt \\[1.2em]
  &\dsp=\dfrac1\pi\int_0^\pi f(t)\,dt\\[1.2em]
  &\dsp=\dfrac1\pi\int_0^\pi\lp\dfrac\pi2-t\rp\,dt\\[1.2em]
  &\dsp=\dfrac1\pi\Bigl[\,\dfrac\pi2t-\dfrac{t^2}{2}\,\Bigr]_0^\pi\\[1em]
  &=0
  \enar\]

    • La pulsation est $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=1$ et alors, pour tout entier $n\geqslant1$, on a
      \[\begin{array}{ll}
  a_n&=\dsp\dfrac4T\int_0^\pi f(t)\cos(n\omega t)\,dt\\[1.2em]
  &=\dsp\dfrac2\pi\int_0^\pi\lp\dfrac\pi2-t\rp\cos(nt)dt
  \enar\]

      soit, en intégrant par parties,
      \[a_n=\dfrac2\pi\Bigr[\lp\dfrac\pi2-t\rp\dfrac{\sin(nt)}{n}\Bigr]_0^\pi
  -\dfrac2\pi\int_0^\pi(-1)\dfrac{sin(nt)}{n}dt\]

      et donc, puisque $\sin(n\pi)=\sin(0)=0$,
      \[\begin{array}{ll}a_n&\dsp=\dfrac2{n\pi}\int_0^\pi\sin(nt)dt\\[1.2em]
  &\dsp=\dfrac2{n\pi}\Bigl[-\dfrac{\cos(nt)}{n}\Bigr]_0^\pi
  \enar\]

      enfin, comme $\cos(n\pi)=(-1)^n$, on obtient donc que les coefficients de rang pair sont nuls: $a_{2p}=0$ et ceux de rang impair valent $a_{2p+1}=\dfrac4{(2p+1)^2\pi}$
    • Comme $f$ est continue sur $\R$, on obtient pour tout $x$ réel,
      \[f(x)=\dfrac4\pi\sum_{p\geqslant1}\dfrac{\cos\bigl((2p+1)x\bigr)}{(2p+1)^2}\]


  1. On en déduit en particulier, pour $x=0$, que
    \[f(0)=\dfrac\pi2=\dfrac4\pi\sum_{p\geqslant1}\dfrac1{(2p+1)^2}\]

    d'où
    \[S=\dsp\sum_{n\geqslant1}\dfrac1{(2n+1)^2}=\dfrac{\pi^2}{8}\]

    et alors, pour la somme de Riemann, en décomposant termes pairs/impairs,
    \[\begin{array}{ll}T&=\dsp\sum_{n\geqslant1}\dfrac1{n^2}\\[1em]
  &=\dsp\sum_{n\geqslant1}\dfrac1{(2n)^2}
  +\sum_{n\geqslant1}\dfrac1{(2n+1)^2}\\[1em]
  &=\dsp\dfrac14T+S
  \enar\]

    On trouve donc $\dfrac34T=S$, soit $T=\dfrac43S=\dfrac{\pi^2}{6}$.


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Tag:Série de Fourier

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