@ccueil Colles

Décomposition harmonique d'une impulsion périodique


Soit deux réels $a$ et $b$, avec $0<a<\pi$ et $0<b<\pi-a$ et $f$ la fonction $\pi$-périodique, telle que, pour tout $x\in[0;\pi[$,
\[f(x)=\la\begin{array}{ll} 1 \text{ si } a<x<a+b \\ 0 \text{ sinon}\enar\right.\]

Déterminer la série de Fourier de $f$.

Correction
  • La fonction est $\pi$-périodique, donc de pulsation $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2$, et telle que
    \[\psset{unit=1.4cm,arrowsize=8pt}
  \begin{pspicture}(-3.2,-1)(5.6,2.2)
  \psline{->}(-3.1,0)(5.5,0)
  \psline(-.05,1)(.05,1)\rput(-.2,1){1}
  \psline{->}(0,-.2)(0,2)\rput(-.15,-.3){0}
  \psline(3.14,.05)(3.14,-.05)\rput(3.14,-.3){$\pi$}
  \psline[linecolor=blue,linewidth=2.2pt](-3,0)(-2.14,0)
  \psline[linecolor=blue,linewidth=2.2pt](-2.14,1)(-1.64,1)
  \psline[linecolor=blue,linewidth=2.2pt](-1.64,0)(1,0)
  \psline[linecolor=blue,linewidth=2.2pt](1,1)(1.5,1)
  \psline[linecolor=blue,linewidth=2.2pt](1.5,0)(4.14,0)
  \psline[linecolor=blue,linewidth=2.2pt](4.14,1)(4.64,1)
  \psline[linecolor=blue,linewidth=2.2pt](4.64,0)(5,0)
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt,linecolor=blue](-1.64,0)(-1.64,1)
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt,linecolor=blue](-2.14,0)(-2.14,1)
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt,linecolor=blue](1,0)(1,1)
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt,linecolor=blue](1.5,0)(1.5,1)
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt,linecolor=blue](4.14,0)(4.14,1)
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt,linecolor=blue](4.64,0)(4.64,1)
  \rput(1,-.25){$a$}\rput[l](1.4,-.2){$a\!+\!b$}
  \psline[arrowsize=6pt]{<->}(.95,-.5)(1.55,-.5)
  \rput(1.25,-.75){$b$}
  \end{pspicture}\]


  • sa valeur moyenne est
    \[a_0=\dfrac1\pi\int_0^\pi f(t)dt=\dfrac{b}\pi\]

  • Pour tout entier $n\geqslant1$,
    \[\begin{array}{ll}a_n&\dsp=\dfrac{2\pi}{T}\int_0^\pi f(t)\cos(n\omega t)dt\\[1.2em]
  &=\dsp2\int_a^{a+b} \cos(2nt)dt\\[1.2em]
  &\dsp=2\lb\dfrac{\sin(2nt)}{2n}\rb_a^{a+b}\\[1.2em]
  &\dsp=\dfrac1n\Bigl(\sin\bigl(2n(a+b)\bigr)-\sin\bigl(2na\bigr)\Bigr)
  \enar\]

    et de même,
    \[b_n=-\dfrac1n\Bigl(\cos\bigl(2n(a+b)\bigr)-\cos\bigl(2na\bigr)\Bigr)\]

    Finalement, en tout point $x$$f$ est continue
    \[f(x)=\dfrac{b}{\pi}+\sum_{n\geqslant1}\Bigl( a_n\cos(2nx)+b_n\sin(2nx)\Bigr)\]



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Tag:Série de Fourier

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