Démonstration d'une propriété intégrale
Montrer que pour toute fonction continue sur on a
Correction
Soit .
Comme dans toutes les intégrales de l'égalité le terme semble invariant, cela nous incite à trouver un changement de variable qui laisse effectivement invariant ce terme, donc invariant le sinus (n'ayant pas d'autre information sur ).
On pose donc , et donc et, comme justement ,
On en déduit donc que ou encore que .
Il reste maintenant à découper l'intervalle d'intégration pour arriver à l'égalité recherchée:
et avec à nouveau le changement de variable dans la dernière intégrale:
et donc,
d'où l'égalité recherchée:
Cacher la correction
Soit .
Comme dans toutes les intégrales de l'égalité le terme semble invariant, cela nous incite à trouver un changement de variable qui laisse effectivement invariant ce terme, donc invariant le sinus (n'ayant pas d'autre information sur ).
On pose donc , et donc et, comme justement ,
On en déduit donc que ou encore que .
Il reste maintenant à découper l'intervalle d'intégration pour arriver à l'égalité recherchée:
et avec à nouveau le changement de variable dans la dernière intégrale:
et donc,
d'où l'égalité recherchée:
Cacher la correction
Tag:Intégrale
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