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Démonstration des inégalités triangulaires


Démontrer les inégalités triangulaires.

Correction
On démontre d'abord $|z+z'|\leqslant |z|+|z'|$.
Soit $z=\alpha e^{i\theta}$ et $z'=\alpha' e^{i\theta'}$, avec $\alpha\geqslant0$ et $\alpha'\geqslant0$.
Alors,
\[\begin{array}{ll}
|z+z'|^2=|\alpha e^{i\theta}+\alpha'e^{i\theta'}|^2
&=|e^{i\theta}|\,|\alpha+\alpha'e^{i(\theta'-\theta)}|^2\\
&=\lp\alpha+\alpha'\cos(\theta'-\theta)\rp^2
+\alpha'^2\sin^2(\theta'-\theta)\\
&=\alpha^2+\alpha'^2+2\alpha\alpha'\cos(\theta'-\theta)
\enar\]

car $\cos^2+\sin^2=1$.
Comme de plus $\cos\leqslant1$, on obtient $|z+z'|^2\leqslant|z|^2+|z'|^2+2|z|\,|z'|=\lp|z|+|z'|\rp$, et donc l'inégalité recherchée car tous les nombres sont positifs.

Les cas d'égalité se déduisent aussi ici, lorsque $\cos(\theta'-\theta)=0$, soit lorsque $\theta'\equiv\theta\,[2\pi]$, soit lorsque $z'=\lambda z$, $\lambda\in\R_+$.


L'autre côté de l'inégalité s'obtient à partir de celle-ci appliquée à $z$ et $z'-z$ puis à $z'$ et $z-z'$.

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