Démonstration des inégalités triangulaires

Démontrer les inégalités triangulaires.

Correction
On démontre d'abord $|z+z'|\leqslant |z|+|z'|$ .
Soit $z=\alpha e^{i\theta}$ et $z'=\alpha' e^{i\theta'}$ , avec $\alpha\geqslant0$ et $\alpha'\geqslant0$ .
Alors,

$\begin{array}{ll} |z+z'|^2=|\alpha e^{i\theta}+\alpha'e^{i\theta'}|^2 &=|e^{i\theta}|\,|\alpha+\alpha'e^{i(\theta'-\theta)}|^2\\ &=\lp\alpha+\alpha'\cos(\theta'-\theta)\rp^2 +\alpha'^2\sin^2(\theta'-\theta)\\ &=\alpha^2+\alpha'^2+2\alpha\alpha'\cos(\theta'-\theta) \enar$

car $\cos^2+\sin^2=1$ .
Comme de plus $\cos\leqslant1$ , on obtient $|z+z'|^2\leqslant|z|^2+|z'|^2+2|z|\,|z'|=\lp|z|+|z'|\rp$ , et donc l'inégalité recherchée car tous les nombres sont positifs.

Les cas d'égalité se déduisent aussi ici, lorsque $\cos(\theta'-\theta)=0$ , soit lorsque $\theta'\equiv\theta\,[2\pi]$ , soit lorsque $z'=\lambda z$ , $\lambda\in\R_+$ .

L'autre côté de l'inégalité s'obtient à partir de celle-ci appliquée à

puis à

.

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