Dérivée d'une somme géométrique
Pour
et
, calculer la somme
.



Correction
Soit la fonction polynôme
.
est dérivable sur
(et même
),
et on a, pour tout réel
,
.
Par ailleurs, on a
, et donc
![\[\begin{array}{ll}
f'(x)&=\dfrac{x^n-1}{x-1}+x\dfrac{nx^{n-1}(x-1)-\left( x^n-1\right)}{(x-1)^2}\\[1em]
&=\dfrac{\left( x^n-1\rp(x-1)+nx^n(x-1)-x\left( x^n-1\rp}{(x-1)^2} \\[1em]
&=\dfrac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2} \\
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex11_c/8.png)
On a ainsi,
.
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Soit la fonction polynôme






Par ailleurs, on a

![\[\begin{array}{ll}
f'(x)&=\dfrac{x^n-1}{x-1}+x\dfrac{nx^{n-1}(x-1)-\left( x^n-1\right)}{(x-1)^2}\\[1em]
&=\dfrac{\left( x^n-1\rp(x-1)+nx^n(x-1)-x\left( x^n-1\rp}{(x-1)^2} \\[1em]
&=\dfrac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2} \\
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex11_c/8.png)
On a ainsi,

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