@ccueil Colles

Détermination d'une limite


Déterminer la limite en 0 de $\dfrac{\ln(1+x)}{x}$, et en déduire celle de $f(x)=\dfrac{2x}{\ln\lp\dfrac{1+x}{1-x}\right)}$

Correction
On a
\[\dfrac{\ln(1+x)}{x}=\dfrac{\ln(1+x)-\ln(1)}{(1+x)-1}\]

et donc, par définiton de la dérivée de $\ln$ en 1,
\[\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=\ln'(1)=\dfrac11=1\]


On a alors,
\[\begin{array}{ll} f(x)
&=\dfrac{2x}{\ln\lp\dfrac{1+x}{1-x}\right)}\\[2.8em]
&=\dfrac{2x}{\ln(1+x)-\ln(1-x)}\\[1.5em]
&=\dfrac{2x}{x\lp\dfrac{\ln(1+x)}{x}-\dfrac{\ln(1-x)}{x}\right)}\\
&=\dfrac{2}{\dfrac{\ln(1+x)}{x}-\dfrac{\ln(1-x)}{x}}
\enar\]

avec donc, $\lim{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$, et de même, $\lim{x\to0}\dfrac{\ln(1-x)}{x}=
\lim{x\to0} -\dfrac{\ln(1+(-x))}{-x}=-1$, on obtient finalement,
\[\lim{x\to0}f(x)=\dfrac{2}{1-(-1)}=1\]



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Tag:Limite

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