@ccueil Colles

Déterminer les polynômes tels que … (quater)


On cherche à déterminer les polynômes de $\R[X]$ qu vérifient la relation $(E): P(X^2)=(X^3+1)P(X)$.
  1. Démontrer que le polynôme nul ainsi que le polynôme $X^3-1$ sont solutions du problème.
  2. Soit $P$ un polynôme qui vérifie la relation $(E)$.
    1. Déterminer le degré de $P$.
    2. Démontrer que $P(1)=0$, puis que $P'(0)=P''(0)=0$.
    3. En effectuant la division euclidienne de $P$ par $X^3-1$, démontrer qu'il existe $\lambda\in\R$ tel que $P(X)=\lambda (X^3-1)$.
  3. Conclure: quels sont les polynômes de $\R[X]$ solutions de $(E)$ ?

Correction


Tags:PolynômeDérivée

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