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Déterminer les polynômes tels que … (quater)


On cherche à déterminer les polynômes de $\R[X]$ qu vérifient la relation $(E): P(X^2)=(X^3+1)P(X)$.
  1. Démontrer que le polynôme nul ainsi que le polynôme $X^3-1$ sont solutions du problème.
  2. Soit $P$ un polynôme qui vérifie la relation $(E)$.
    1. Déterminer le degré de $P$.
    2. Démontrer que $P(1)=0$, puis que $P'(0)=P''(0)=0$.
    3. En effectuant la division euclidienne de $P$ par $X^3-1$, démontrer qu'il existe $\lambda\in\R$ tel que $P(X)=\lambda (X^3-1)$.
  3. Conclure: quels sont les polynômes de $\R[X]$ solutions de $(E)$ ?

Correction
  1. Le polynôme nul vérifie simplement la relation et, pour $P(X)=X^3-1$, on a $P(X^2)=X^6-1$, puis $(X^3+1)P(X)=(X^3+1)(X^3-1)=X^6-1$. Ce polynôme est aussi solution.
    1. Soit $n=\deg(P)$, lors $P(X^2)$ est de degré $2n$ et $(X^3+1)P(X)$ est de degré $n+3$. On doit donc avoir $2n=n+3$, soit $n=3$.
    2. En évaluant la relation en $X=1$, on a $P(1^2)=2P(1)$ d'où $P(1)=0$.
      Pour faire intervenir $P'$ et $P''$, on dérive maintenant l'équation $P(X^2)=(X^3+1)P(X)$. On trouve
      \[2XP'(X^2)=3X^2P(X)+(X^3+1)P'(X)\]

      et, en $X=0$, on trouve $P'(0)=0$.
      On dérive alors une second fois. On trouve cette fois
      \[2P'(X^2)+4X^2P''(X^2)=6XP(X)+6X^2P'(X)+(X^3+1)P''(X)\]

      et, en $X=0$, comme $P'(0)=0$, on trouve maintenant que $P''(0)=0$.
    3. La division euclidienne de $P$ par $X^3-1$ s'écrit
      \[P(X)=Q(X)(X^3-1)+R(X)\]

      $\deg(R)\leqslant2$ et donc $R(X)=aX^2+bX+c$.
      De plus, comme on a vu que $\deg(P)=3$, on a nécessairement $\deg(Q)=1$, c'est-à-dire que le polynôme $Q$ est une constante, soit $Q(X)=\alpha\in\R$, et donc
      \[P(X)=\alpha\left( X^3-1\rp+\left( aX^2+bX+c\rp\]


      Il reste à montrer que $a=b=c=0$.
      On a tout d'abord $P(1)=a+b+c=0$.
      En dérivant, on obtient
      \[P'(X)=3\lambda X^2+(2aX+b)\]

      et, puisque $P'(0)=0$, on a $b=0$.
      En dérivant une seconde fois, on obtient
      \[P''(X)=6\lambda X+2a\]

      et, à nouveau puisque $P''(0)=0$, on a $a=0$ et finalement également $c=0$.
  2. On a donc montré jusque là que si un polynôme vérifie la relation $(E)$, alors il est soit nul, soit s'écrit sous la forme $P(X)=\alpha\left( X^3-1\rp$ avec $\alpha\in\R$.
    Il reste à vérifier la réciproque, ce qui est fait dans la première question.
    On a donc montré que l'ensemble des solutions de la relation $(E)$ est
    \[\Bigl\{\alpha\left( X^3-1\rp;\ \alpha\in\R\Bigr\}\]



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Tags:PolynômeDérivée

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