Déterminer les polynômes tels que … (ter)


Déterminer les polynômes de $\R[X]$ tels que $P\circ P=P$.

Correction
Le polynôme nul est solution. Maintenant, si $P$ est un polynôme non nul solution, alors le degré de $\deg(P\circ P)=\deg(P)^2$, et donc on doit avoir
\[\deg(P)^2=\deg(P)\]

On en déduit que $\deg(P)=1$ ou $\deg(P)=0$, c'est-à-dire que le polynôme $P$ est de degré 1 ou 0.

Soit donc $P(X)=aX+b$, alors
\[\begin{array}{lcl} P\circ P(X)&=&a(aX+b)+b\\ &=&a^2X+(ab+b)\enar\]

et on doit donc avoir $a^2=a$, soit $a=1$ ou $a=0$, et $ab=0$.
Si $a=1$, alors nécessairement $b=0$, tandis que si $a=0$, alors $b$ peut être quelconque.

Finalement, on trouve que les solutions sont les polynômes constants et le polynôme identité $P(X)=X$.

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