Développement en série entière d'une fonction
Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction 
.
Préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.
.
Préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.
Correction
On réalise le produit de Cauchy des deux séries :
![\[e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE4_c/1.png)
et
![\[\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^n\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE4_c/2.png)
La deuxième série ayant pour rayon de convergence 1, on en déduit que pour
, on a
![\[\frac{e^x}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE4_c/4.png)
avec
![\[a_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/SeriesEnt/exDLSE4_c/5.png)
La série converge pour
(règle du produit de Cauchy), et comme 
, le rayon de
convergence de la série obtenue est exactement égal à 1 puisque, pour 
, la série 
diverge grossièrement puisque son terme général ne tend pas vers zéro.
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On réalise le produit de Cauchy des deux séries :
et
La deuxième série ayant pour rayon de convergence 1, on en déduit que pour
, on a
avec
La série converge pour
(règle du produit de Cauchy), et comme , le rayon de
convergence de la série obtenue est exactement égal à 1 puisque, pour , la série
diverge grossièrement puisque son terme général ne tend pas vers zéro.
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Tag:Séries entières
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