@ccueil Colles

Diagonalisabilité d'une application linéaire entre polynomes


  1. Soit $A$ et $B$ deux réels et $f:]0;1[\to\R$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ qui vérifie, pour tout $x\in]0;1[$,
    \[f'(x)=\lp\dfrac{A}x+\dfrac{B}{x-1}\right) f(x)\]


    Montrer qu'il existe une constante $C$ telle que, pour tout $x\in]0;1[$, $f(x)=Cx^A(x-1)^B$.
    [.6em] Indication: on pourra considérer la fonction définie par $g(x)=\dfrac{f(x)}{x^A(x-1)^B}$
  2. Soit un entier $n\geqslant2$ et $\phi$ l'application $\phi:\la\begin{array}{cll}\R_n[X]&\to&\R_n[X]\\[.4em]
  P&\mapsto&X(X-1)P'-n(X+1)P\enar\right.$
    1. Montrer que $\phi$ est un endomorphisme de $\R_n[X]$.
    2. Soit $\lambda\in\R$. Montrer qu'il existe deux réels $A_\lambda$ et $B_\lambda$ (qui dépendent de $\lambda$ et $n$) tels que
      \[\forall x\in]0;1[\,, \ 
    \dfrac{n(x+1)+\lambda}{x(x-1)}=\dfrac{A_\lambda}{x}+\dfrac{B_\lambda}{x-1}\]

    3. Montrer que $\phi$ est diagonalisable.

Correction


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