@ccueil Colles

Diagonalisabilité d'une matrice 2x2 symétrique réelle


La matrice $A=\lp\begin{array}{cc}a&b\\b&c\enar\rp\in\mathcal{M}_2(\R)$ est-elle diagonalisable ?

Correction
Il s'agit d'un résultat (très) connu: toute matrice symétrique réelle est diagonalisable (d'ailleurs dans une base orthonormale de vecteurs propres).
L'objectif de l'exercice est de démontrer ce résultat dans $\mathcal{M}_2(\R)$.

Méthode 1: avec le polynôme caractéristique
Le polynôme caractéristique est
\[\begin{array}{ll}\chi_A(X)=\det(A-XI)&=\left|\begin{array}{cc}a-X&b\\b&c-X\enar\right|\\[1.6em]
&=(a-X)(c-X)-b^2\\[.6em]
&=X^2-(a+c)X+ac-b^2\enar\]

de discriminant
\[\begin{array}{ll}\Delta&=(a+c)^2-4\left( ac-b^2\rp\\[.6em]
&=a^2+c^2-2ac+4b^2\\[.6em]
&=(a-c)^2+4b^2\enar\]


Si $b=0$, la matrice est déjà diagonale. Sinon, si $b\not=0$, on a $\Delta>0$, et $A$ admet alors deux valeurs propres distinctes, et $A$ est diagonalisable.

Méthode 2: avec un calcul de rang
On calcule $r=\text{rg}(A-\lambda I)$, soit
\[r=\text{rg}\lp\begin{array}{cc}a-\lambda&b\\b&c-\lambda\enar\rp\]

et, pour $b\not=0$ (si $b=0$, la matrice est déjà diagonale) $C_2\leftarrow bC_2-(c-\lambda)C_1$
\[r=\text{rg}\lp\begin{array}{cc}a-\lambda&b^2-(c-\lambda)(a-\lambda)
\\b&0\enar\rp\]

Le rang est ainsi différent de 2 lorsque $b^2-(c-\lambda)(a-\lambda)=0
\iff -\lambda^2+(a+c)\lambda-ac+b^2=0$.
Le discriminant de ce trinôme est
\[\begin{array}{ll}\Delta&=(a+c)^2-4\left( ac-b^2\rp\\[.6em]
&=a^2+c^2-2ac+4b^2\\[.6em]
&=(a-c)^2+4b^2\enar\]

Si $b=0$, la matrice est déjà diagonale. Sinon, si $b\not=0$, on a $\Delta>0$, et $A$ admet alors deux valeurs propres distinctes, et $A$ est diagonalisable.

Cacher la correction


Tags:DiagonalisationMatrices

Autres sujets au hasard: Lancer de dés