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Diagonalisation d'une matrice 4x4


Soit $A=\lp\begin{array}{cccc}5&0&-2&0\\0&5&0&-2\\-2&0&5&0\\0&-2&0&5\enar\rp$
  1. $A$ est-elle diagonalisable ?
  2. Déterminer les éléments propres de $A$.

Correction
Soit $A=\lp\begin{array}{cccc}5&0&-2&0\\0&5&0&-2\\-2&0&5&0\\0&-2&0&5\enar\rp$
  1. Le polynôme caractéristique de $A$ est
    \[\begin{array}{lcl}\chi_A(X)&=&\det\left( XI-A\rp\\[.9em] &=&\left|\begin{array}{cccc}x-5&0&2&0\\0&x-5&0&2\\2&0&x-5&0\\0&2&0&x-5\enar\right|\\[3em] &=&(x-5)\left|\begin{array}{ccc}x-5&0&2\\0&x-5&0\\2&0&x-5\enar\right|\\ &&+2\left|\begin{array}{ccc}0&2&0\\x-5&0&2\\2&0&x-5\enar\right|\\[2em] &=&(x-5)\Bigl( (x-5)\left|\begin{array}{cc}x-5&0\\0&x-5\enar\right|\\ &&\phantom{(x-5)\ }+2\left|\begin{array}{cc}0&2\\x-5&0\enar\right|\Bigr)\\[2em] &&+2\left( -2\left|\begin{array}{ccc}x-5&2\\2&x-5\enar\right|\ \rp\\[1.6em] &=&(x-5)\Bigl((x-5)^3-4(x-5)\Bigr)-4\Bigl((x-5)^2-4\Bigr)\\ &=&(x-5)^2\Bigl((x-5)^2-4\Bigr)-4\Bigl((x-5)^2-4\Bigr)\\ &=&\Bigl((x-5)^2-4\Bigr)\Bigl((x-5)^2-4\Bigr)\\ &=&\Bigl((x-5)^2-4\Bigr)^2\\ &=&\Bigl(\lp(x-5)-2\rp\lp(x-5+2\rp\Bigr)^2\\ &=&(x-7)^2(x-3)^2 \enar\]


    Le polynôme caractéristique est scindé, avec deux valeurs propres: $\lambda_1=3$ et $\lambda_2=7$.
    Pour savoir si $A$ est diagonalisable, il reste encore à déterminer la dimension des espaces propres associés.
  2. Espace propre associé à $\lambda_1=3$.
    Soit $V=\lp\begin{array}{c}a\\b\\c\\d\enar\rp$ alors
    \[\begin{array}{ll}AV=3V&\iff \la\begin{array}{cccc} 2a-2c=0\\2b-2d=0\\-2a+2c=0\\-2b+2d=0 \enar\right.\\[2.5em] &\iff \bigl( a=c \text{ et } b=d\bigr)\enar\]

    Ainsi, l'espace propre est de dimension 2 avec $E_3=\text{Vect}\left( V_1,V_2\rp$ avec $V_1=\lp\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\enar\rp$ et $V_2=\lp\begin{array}{c}0\\1\\0\\1\enar\rp$.


    Espace propre associé à $\lambda_2=7$.
    Soit $V=\lp\begin{array}{c}a\\b\\c\\d\enar\rp$ alors
    \[\begin{array}{ll}AV=7V&\iff \la\begin{array}{cccc} -2a-2c=0\\-2b-2d=0\\-2a-2c=0\\-2b-2d=0 \enar\right.\\[2.5em] &\iff \bigl( a=-c \text{ et } b=-d\bigr)\enar\]

    Ainsi, l'espace propre est aussi de dimension 2 avec $E_7=\text{Vect}\left( V_3,V_4\rp$ avec $V_3=\lp\begin{array}{c}1\\0\\-1\\0\enar\rp$ et $V_4=\lp\begin{array}{c}0\\1\\0\\-1\enar\rp$.
    $A$ est donc diagonalisable dans la base $\left( V_1, V_2, V_3, V_4\rp$.


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