DL en 1, tangente et position relative


Donner le développement limité en 1 à l'ordre 2 de la fonction $f$ définie par $f(x)=x+2\sqrt{x}-\sqrt{3+x}$.
Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_f$ de $f$ par rapport à sa tangente en 1.

Correction
Pour obtenir le développement limité en 1, à l'ordre 2, on se ramène à 0 en posant $u=x-1\iff x=u+1$, et on a alors
\[\begin{array}{ll}f(x)&=x+2\sqrt{x}-\sqrt{3+x}\\
&=u+1+2\sqrt{u+1}-\sqrt{4+u}\\[1em]
&=u+1+2\sqrt{1+u}-\sqrt{4\lp1+\dfrac{u}4\right)}\\[1em]
&=u+1+2(1+u)^{1/2}-2\lp1+\dfrac{u}4\rp^{1/2}\\[1em]
&=u+1+2\lp1+\dfrac12u-\dfrac18u^2+o\lp u^2\rp\rp
-2\lp1+\dfrac18u-\dfrac18\lp\dfrac{u}4\rp^2+o\lp u^2\rp\rp\\[1em]
&=1+\dfrac74u-\dfrac{15}{64}u^2+o\left( u^2\right)
\enar\]

et on trouve donc, en revenant à $x$, le développement limité en 1:
\[f(x)=1+\dfrac74(x-1)-\dfrac{15}{64}(x-1)^2+o\left( (x-1)^2\rp\]

On en déduit que la tangente à la courbe de $f$ en 1 a pour équation
\[y=1+\dfrac74(x-1)=\dfrac74x-\dfrac34\]

et, comme
\[f(x)-\Bigl(1+\dfrac74(x-1)\Bigr)=-\dfrac{15}{64}(x-1)^2+o\lp(x-1)\rp^2<0\]

au voisinage de 1, la courbe de $f$ est au dessous de cette tangente.

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