@ccueil Colles

Droites coplanaires, sécantes, …


Soit $a$ un réel. On considère les droites $D_1: \la\begin{array}{ll}x+y=2\\ y-2z=3\enar\right.$ et $D_2: \la\begin{array}{ll}x+y+z=1\\x-2y+3z=a\enar\right.$.
  1. $D_1$ et $D_2$ sont-elles parallèles?
  2. Déterminer $a$ pour qu'elles soient coplanaires.
    Donner alors les coordonnées du point d'intersection de $D_1$ et $D_2$ et une équation du plan contenant $D_1$ et $D_2$.

Correction
Soit $a$ un réel. On considère les droites $D_1: \la\begin{array}{ll}x+y=2\\ y-2z=3\enar\right.$ et $D_2: \la\begin{array}{ll}x+y+z=1\\x-2y+3z=a\enar\right.$.
  1. $\overrightarrow{u_1}(1;1;0)$ et $\overrightarrow{v_1}(0;1;-2)$ sont deux vecteurs orthogonaux de $D_1$ dont un vecteur directeur est donc $\overrightarrow{w_1}=\overrightarrow{u_1}\wedge\overrightarrow{v_1}=(-2;2;1)$.
    De même pour $D_2$ dirigée par $\overrightarrow{w_2}=\overrightarrow{u_1}\wedge\overrightarrow{v_1}=(1;1;1)\wedge(1;-2;3)=(5;-2;-3)$.
    Comme $\overrightarrow{w_1}$ et $\overrightarrow{w_2}$ ne sont pas colinéaires, $D_1$ et $D_2$ ne sont pas parallèles.
  2. Ces droites sont donc coplanaires si et seulement si elles sont sécantes. Soit $M(x;y;z)$ l'éventuel point d'intersection, alors $\la\begin{array}{ll}x+y=2\\ y-2z=3\\x+y+z=1\\x-2y+3z=a\enar\right.$.
    En soutrayant la 1ère équation à la 3ème, on obtient $z=-1$, et alors la 2ème fournit $y=1$, puis la 1ère $x=1$. Enfin, la dernière donne alors que les droites sont sécantes en $M(1;1;-1)$ si et seulement si $a=-4$.
    Un vecteur normal au plan contenant $D_1$ et $D_2$ est donné par $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{w_1}\wedge\overrightarrow{w_2}=(-4;-1;-6)$, donc $P:-4x-y-6z+\alpha=0$, et comme $M(1;1;-1)\in P$, on obtient $\alpha=-1$ d'où
    \[P:-4x-y-6z-1=0\iff 4x+y+6z+1=0\]



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Tag:Géométrie dans l'espace

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