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Égalité d'un polynôme et de l'exponentielle: finitude des solutions


Soit $P$ un polynôme. Montrer que l'équation $P(x)=e^x$ n'admet qu'un nombre fini de solutions.

Correction
Soit $g(x)=e^x-P(x)$. Si $g$ admet $n$ racines, alors $g'$ en admet $n-1$, d'après le théorème de Rolle. En réappliquant ce théorème à $g'$, on obtient que $g''$ admet $n-2$ racines, et en réitérant, $g^{(k)}$ admet $n-k$ racines, et enfin $g^{(n-1)}$ admet 1 racine.
Ainsi, si $P$ est un polynôme de degré $n-2$, alors $P^{(n-1)}=0$ et donc $g^{(n-1)}=e^x$ devrait admettre 1 racine, ce qui est absurde.
Ainsi, $P(x)=e^x$ ne peut pas admettre plus de $n-1$ racines où $\deg(P)=n-2$.

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Tags:DérivéeRolle - AF

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