Égalité d'un polynôme et de l'exponentielle: finitude des solutions
Soit
un polynôme.
Montrer que l'équation
n'admet qu'un nombre fini de solutions.


Correction
Soit
.
Si
admet
racines,
alors
en admet
, d'après le théorème de Rolle.
En réappliquant ce théorème à
, on obtient que
admet
racines, et en réitérant,
admet
racines, et enfin
admet 1 racine.
Ainsi, si
est un polynôme de degré
, alors
et donc
devrait admettre 1 racine, ce qui est absurde.
Ainsi,
ne peut pas admettre plus de
racines où
.
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Soit











Ainsi, si




Ainsi,



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