@ccueil Colles

Égalité des accroissements finis - Énoncé et démonstration


Énoncer l'égalité des accroissements finis.

Correction
Théorème: Soit $f$ une fonction continue sur $[a;b]$ et dérivable sur $]a;b[$, alors il existe $c\in]a;b[$ tel que $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$.

Démonstration:
Graphiquement, ce théorème énonce qu'il existe $c\in]a;b[$ tel que $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$, c'est-à-dire que la tangente est parallèle à la droite passant par les points de la courbe aux extrémités de l'intervalle:
\[\psset{arrowsize=7pt}\begin{pspicture}(-1,-.6)(6,5.4)
\psline{->}(-1,0)(6,0)
\psline{->}(0,-.6)(0,5.2)
\pscurve[linewidth=1.3pt](.5,1.5)(.7,2)(2,3.5)(3.2,1)(4,1.5)(5,4)
\psline{<->}(.5,2.8)(3,4.2)
\psline{<->}(2.4,.4)(4.9,1.8)
\rput[r](-.2,1.5){$f(a)$}
\rput[r](-.2,4){$f(b)$}
\rput(.5,-.3){$a$}
\rput(5,-.3){$b$}
\psline[linestyle=dashed](.5,0)(.5,1.5)(0,1.5)
\psline[linestyle=dashed](5,0)(5,4)(0,4)
\psline(.5,1.5)(5,4)
\end{pspicture}\]


Le coefficient directeur de la sécante pasant par $\left( a;f(a)\rp$ et $\left( b;f(b)\rp$ est $m=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
On définit alors la fonction $\varphi(x)=f(x)-f(a)-m(x-a)$ pour laquelle $\varphi(a)=0$ et aussi $\varphi(b)=0$.
Comme $\varphi$ est, de même que $f$, continue sur $[a;b]$ et dérivable sur $]a;b[$, on en déduit, d'après le théorème de Rolle, qu'il existe $c\in]a;b[$ tel que $\varphi'(c)=0\iff f'(c)-m=0$ soit exactement
\[f'(c)=m=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\]



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