@ccueil Colles

Encadrement accroissements finis et convergence d'une somme partielle


Montrer que pour tout $x>0$, $\dfrac{1}{1+x}<\ln(x+1)-\ln(x)<\dfrac{1}{x}$.
En déduire, pour tout entier $k$ différent de 0 et 1, la limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ de $\dsp\sum_{p=n+1}^{kn}\dfrac{1}{p}$.

Correction
Le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction $\ln$ entre $x$ et $x+1$ donne l'exsitence d'un réel $c_x\in]x;x+1[$ tel que
\[\ln(x+1)-\ln(x)=\ln'\left( c_x\rp=\dfrac{1}{c_x}\]

et donc, comme $x<c_x<x+1$, on a l'encadrement $\dfrac{1}{x+1}<\dfrac{1}{c_x}<\dfrac{1}{x}$ ce qui est bien l'encadrement souhaité.

On a alors, pour tout $p>1$,
\[\ln(p+1)-\ln(p)<\dfrac1p<\ln(p)-\ln(p-1)\]

et donc, en sommant,
\[\sum_{p=n+1}^{kn}\ln(p+1)-\ln(p)
<\sum_{p=n+1}^{kn}\dfrac1p<
\sum_{p=n+1}^{kn}\ln(p)-\ln(p-1)
\]

Les sommes qui encadrent sont télescopiques et se simplifient en
\[\ln(kn+1)-\ln(n+1)
<\sum_{p=n+1}^{kn}\dfrac1p<
\ln(kn)-\ln(n)
\]

soit encore, comme $\ln(kn+1)-\ln(n+1)=\ln\lp\dfrac{kn+1}{n+1}\rp$ et $\ln(kn)-\ln(n)=\ln\lp\dfrac{kn}{n}\rp=\ln(k)$, on a donc
\[\ln\lp\dfrac{kn+1}{n+1}\right)
<\sum_{p=n+1}^{kn}\dfrac1p<\ln(k)\]


Maintenant, comme $\dsp\lim_{n\to+\infty}\ln\lp\dfrac{kn+1}{n+1}\rp=\ln(k)$, d'après le théorème des gendarmes,
\[\lim_{n\to+\infty}\sum_{p=n+1}^{kn}\dfrac1p=\ln(k)\]



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