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Encadrements sommes et intégrales


On pose, pour $n\geq 1$, $u_n=\dsp\sum_{k=1}^n\dfrac1k$  et  $v_n=u_n-\ln n$.
  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $k$ non nul, on a   $\dfrac{1}{k+1}\leqslant\dsp\int_k^{k+1}\frac 1xdx\leqslant \dfrac1k$.
  2. En déduire que pour tout entier $n\geqslant2$, on a $u_n-1\leqslant\ln n\leqslant u_n-\dfrac 1n$  et  $0\leqslant v_n\leq 1$.
  3. Démontrer que pour tout entier naturel non nul,   $v_{n+1}-v_n=\dfrac1{n+1}-\dsp\int_n^{n+1}\dfrac{dx}x$.
  4. En déduire que la suite $(v_n)$ converge vers une limite $\gamma$ (que l'on ne cherchera pas à calculer).
    Que dire de $(u_n)$?

Correction


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