@ccueil Colles

Endomorphisme dont le carré est l'opposé de l'identité


Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, et $f$ un endomorphisme de $E$ vérifiant $f^2=-Id$.
  1. Donner un exemple de tel endomorphisme sur $\R^2$.
  2. Montrer que $f$ n'a pas de valeurs propres réelles. En déduire que la dimension de $E$ est paire.
  3. Montrer que, pour tout $x$ de $E$, $\text{Vect}(x,f(x))$ est stable par $f$.
  4. En déduire que si $\dim E=2n$, il existe des vecteurs $(e_1,\dots,e_n)$ tels que $(e_1,f(e_1),\dots,e_n,f(e_n))$ forme une base de $E$. Quelle est la matrice de $f$ dans cette base?

Correction


Tag:Diagonalisation

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