@ccueil Colles

Endomorphisme dont le carré est l'opposé de l'identité


Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, et $f$ un endomorphisme de $E$ vérifiant $f^2=-Id$.
  1. Donner un exemple de tel endomorphisme sur $\R^2$.
  2. Montrer que $f$ n'a pas de valeurs propres réelles. En déduire que la dimension de $E$ est paire.
  3. Montrer que, pour tout $x$ de $E$, $\text{Vect}(x,f(x))$ est stable par $f$.
  4. En déduire que si $\dim E=2n$, il existe des vecteurs $(e_1,\dots,e_n)$ tels que $(e_1,f(e_1),\dots,e_n,f(e_n))$ forme une base de $E$. Quelle est la matrice de $f$ dans cette base?

Correction
  1. Soit $f$ l'endomorphisme dont la matrice dans la base canonique de $\R^2$ est:
    \[\lp\begin{array}{cc}
  0&-1\\
  1&0\\
  \end{array}\rp\]

    Un simple calcul matriciel montre que $f^2=-Id$.
  2. Si $\lambda$ est une valeur propre associée au vecteur propre $x$, la condition $f^2(x)=-x$ entraîne que $\lambda^2=-1$: il n'existe pas de valeurs propres réelles. Si l'espace était de dimension impaire, le polynome caractéristique serait de degré impair, et aurait une racine réelle, ce qui donnerait une valeur propre réelle : impossible!
  3. Soit $y\in\text{Vect}(x,f(x))$, $y=ax+bf(x)$. On a :
    \[f(y)=af(x)-bx\in\text{Vect}(x,f(x))\]

  4. Procédons de proche en proche. Soit $e_1$ un vecteur non-nul de $E$. $f(e_1)$ n'est pas lié à $e_1$, puisque $f$ est sans valeur propre. On choisit ensuite $e_2\notin\text{Vect}(e_1,f(e_1))$. Il faut prouver que $f(e_2)\notin\text{Vect}(e_1,f(e_1),e_2)$. Mais si tel était le cas, on aurait
    \[f(e_2)=ae_1+bf(e_1)+ce_2\implies -e_2=af(e_1)-be_1+cf(e_2)\]

    et en remplaçant $f(e_2)$ par $ae_1+bf(e_1)+ce_2$, on trouverait que la famille $(e_1,f(e_1),e_2)$ est liée. On continue ainsi pour construire $e_3$, etc... La matrice résultante est diagonale par blocs, les $n$ blocs sont ceux apparus à la question 1.


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Tag:Diagonalisation

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