Équation d'un plan médiateur


Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left( O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\rp$, on considère les points $A(0;1;2)$ et $B(2;-1;0)$. Déterminer une équation du plan médiateur du segment $[AB]$.

Correction
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left( O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\rp$, on considère les points $A(0;1;2)$ et $B(2;-1;0)$. Déterminer une équation du plan médiateur du segment $[AB]$.
Soit $M(x;y;z)$ un point du plan médiateur du segment $[AB]$, alors
\[\begin{array}{ll} MA=MB&\iff MA^2=MB^2\\[.6em] &\iff x^2+(y-1)^2+(z-2)^2=(x-2)^2+(y+1)^2+z^2 \\[.6em] &\iff 4x-4y-4z=0 \enar\]


On peut aussi écrire que $M$ est un point du plan médiateur si et seulement $\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ avec $I$ le milieu de $[AB]$.

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Tag:Géométrie dans l'espace

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