@ccueil Colles

Équation de la tangente à un cercle passant par un point donné


Dans le plan muni d'un repère orthonormal $\left( O;\vec{i},\vec{j}\rp$, déterminer les équations des tangentes au cerle de centre $A(-2;1)$ et de rayon 5 et qui passent par $B(5;2)$.

Correction
Soit $T(x;y)$ un point de tangence sur le cercle, alors on a
\[\begin{array}{l}
\la\begin{array}{l}
\overrightarrow{AT}\cdot\overrightarrow{BT}=(x+2)(x-5)+(y-1)(y-2)=0\\[.5em]
AT^2=(x+2)^2+(y-1)^2=5^2=25
\enar\right.
\iff 
\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-3x-3y-8=0\\[.5em]
x^2+y^2+4x-2y-20=0
\enar\right.\\[1.5em]
\iff 
\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-3x-3y-8=0\\[.5em]
7x+y-12=0  
\enar\right.\\[1.5em]
\iff 
\la\begin{array}{l}
x^2+(-7x+12)^2-3x-3(-7x+12)-8=50x^2-150x+100=0\\[.5em]
y=-7x+12=0  
\enar\right.\\[1.5em]
\end{array}
\]

$x=1$ est une racine évidente du trinôme, la 2ème racine étant alors $x=\dfrac{100}{50}=2$.
On trouve donc deux possibilités: $T_1(1;5)$ et $T_2(2;2)$.
Soit $M(x;y)$ un point d'une tangente, alors
\[\begin{array}{ll}\overrightarrow{AT_1}\cdot\overrightarrow{BM}=0&\iff3(x-5)+4(y-2)=0\\[.4em]&\iff3x+4y-23=0\enar\]

ou
\[\begin{array}{ll}\overrightarrow{AT_2}\cdot\overrightarrow{BM}=0&\iff4(x-5)+1(y-2)=0\\[.4em]&\iff 4x+y-22=0\enar\]



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Tag:Géométrie plane cartésienne

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