@ccueil Colles

Équation de plan, projeté orthogonal et distance au plan


Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on donne trois points $A(1,2,3)$, $B(0,1,5)$ et $C(2,3,4)$.
  1. Donner une équation cartésienne du plan $P$ contenant les points $A$, $B$ et $C$.
  2. Soit $u$, $v$ et $w$ trois réels, et $M$ le point de coordonnée $(u,v,w)$.
    Déterminer le projeté orthogonal $H$ du point $M$ sur le plan $P$.
  3. Calculer la distance du point $N(2;1;1)$ au plan $P$.

Correction
  1. $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(-1;-1;2)\wedge(1;1;1)=(-3;3;0)$ est un vecteur normal à $P$, qui a donc une équation cartésienne de la forme $-3x+3y+k=0$.
    Comme $A\in P$, on a $k=-3$, et donc $P:-3x+3y-3=0\iff x-y+1=0$.
  2. Soit $M(u,v,w)$, $H(x;y;z)$.
    On a $\overrightarrow{HM}$ colinéaire à $\vec{n}$, donc $3(x-u)+3(y-v)=0\iff x+y=u+v$, et $z-u=0\iff z=u$.
    De plus, $H\in P\iff x-y+1=0$, d'où $x=\dfrac{u+v-1}{2}$, $y=\dfrac{u+v+1}{2}$ et $z=u$.
  3. Le projeté de $N(2;1;1)$ sur $P$ est $H(1;2;1)$ et la la distance de $N$ à $P$ est donc $NH=\sqrt{2}$


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Tag:Géométrie dans l'espace

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