@ccueil Colles

Équation différentielle - 1er ordre, coefficients constants


Résoudre: $y'+y=\dfrac{1}{1+e^x}$
Déterminer la solution $f$ de cette équation qui s'annule en $\ln2$.

Correction
L'équation homogène est $y'+y=0$ et a pour solutions les fonctions $x\mapsto ke^{-x}$, $k\in\R$.
Faisons varier la constante: $y(x)=k(x)e^{-x}$, alors $y'(x)+y(x)=k'(x)e^{-x}=\dfrac{1}{1+e^x}$ et donc $k'(x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}$, d'où $k(x)=\ln\lp1+e^x\rp$.
Enfin, la solution générale de l'équation est $y(x)=\ln\lp1+e^x\right) e^{-x}+ke^{-x}, \ k\in\R$


$f$ est solution de l'équation, donc $f(x)=\ln\lp1+e^x\right) e^{-x}+ke^{-x}, \ k\in\R$.
On sait de plus que $f(\ln(2))=0\iff \dfrac12\ln3+\dfrac12k=0\iff k=-\ln3$
Ainsi, $f(x)=\ln\lp1+e^x\right) e^{-x}-e^{-x}\ln3=\ln\lp\dfrac{1+e^x}{3}\right) e^{-x}$.

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