@ccueil Colles

Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants


Résoudre: $y'-2xy=-(2x-1)e^x$

Correction
L'équation homogène est $y'-2xy=0\iff \dfrac{y'}{y}=2x$ et a pour solutions $x\mapsto ke^{x^2}$, $k\in\R$.
En faisant varier la constante, $y(x)=k(x)e^{x^2}$, on obtient $k'(x)e^{x^2}=-(2x-1)e^x\iff k'(x)=(-2x+1)e^{-x^2+x}$, et donc $k(x)=e^{-x^2+x}$.
Ainsi, $y(x)=e^{-x^2+x}e^{x^2}=e^x$ est une solution particulière, et les solutions générales sont données par $x\mapsto e^x+ke^{x^2}$, $k\in\R$.

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Tag:Équation différentielle

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