@ccueil Colles

Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants


Résoudre: $xy'+y=\dfrac{1}{x^2(1+x)}$

Correction
$xy'+y=\dfrac{1}{x^3(1+x)}$
L'équation homogène est $xy'+y=0 \iff \dfrac{y'}{y}=-\dfrac{1}{x}$ soit $y=\dfrac{A}{x}$, $A\in\R$.

En faisant varier la constante, on trouve $A'(x)=\dfrac{1}{x^2(1+x)}$.
Pour intégrer ce terme, on décompose en éléments simples:
\[\dfrac{1}{x^2(1+x)}
=\dfrac{1+x-x}{x^2(1+x)}
=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x(1+x)}
=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1+x-x}{x(1+x)}
=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1+x}\]

et donc $A(x)=-\dfrac{1}{x}-\ln(|x|)+\ln\lp|1+x|\rp$.

Les solutions de l'équation sont donc les fonctions $y(x)=\dfrac{A}{x}-\dfrac{1}{x}-\ln(|x|)+\ln\lp|1+x|\rp$, $A\in\R$.

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