@ccueil Colles

Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants


Résoudre sur $]0;+\infty[$ l'équation différentielle: $xy'-y+\ln(x)=0$.

Correction
Soit $E: xy'-y+\ln(x)=0\iff xy'-y=-\ln(x)$.
L'équation homogène associée est
\[E_0: xy'-y=0
\iff \dfrac{y'}{y}=\dfrac1x\]

et donc, en intégrant,
\[y=Cx\]

$C$ est une constante quelconque.


Pour Déterminer une solution particulière de $E$, on peut essayer de faire varier la constante: $y'=C'x+C$ et alors
\[xy'-y=-\ln(x)
\iff C'x=\ln(x)
\iff C'=\dfrac{\ln(x)}{x}\]

On peut alors directement intégrer, car $C'=u'u$ avec $u=\ln(x)$, et donc $C=\dfrac12u^2=\dfrac12\lp\ln(x)\rp^2$.

Les solutions de $E$ sont donc les fonctions qui s'écrivent sous la forme,
\[y(x)=x\lp\ln(x)\rp^2+Cx\]

pour toute constante $C$.

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Tag:Équation différentielle

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