@ccueil Colles

Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants


Résoudre sur $]0;+\infty[$ l'équation différentielle: $(x-1)y'+y-\ln(x)=0$.

Correction
Soit $E: (x-1)y'+y-\ln(x)=0\iff (x-1)y'+y=\ln(x)$.
L'équation homogène associée est
\[E_0: (x-1)y'+y=0
\iff \dfrac{y'}{y}=-\dfrac1{x-1}\]

et donc, en intégrant,
\[y=\dfrac{C}{x-1}\]

$C$ est une constante quelconque.
Plus précisément, $y=\dfrac{C_1}{x-1}$ sur $]0;1[$ et $y=\dfrac{C_2}{x-1}$ sur $]1;+\infty[$.


Pour Déterminer une solution particulière de $E$, on peut essayer de faire varier la constante:
\[y'=\dfrac{C'}{x-1}-\dfrac{C}{(x-1)^2}\]

et alors
\[(x-1)y'+y=\ln(x)
\iff C'=\ln(x)\]

On peut alors prendre $C=x\ln(x)-x$ et donc $y=\dfrac{x\ln(x)-x}{x-1}$ est une solution particulière sur $]0;1[$ et sur $]1;+\infty[$.

Les solutions de $E$ sont donc les fonctions qui s'écrivent sous la forme,
\[y(x)=\la\begin{array}{ll}
\dfrac{x\ln(x)-x}{x-1}+\dfrac{C_1}{x-1}\ ,\ \text{ pour } x\in]0;1[\\
\dfrac{x\ln(x)-x}{x-1}+\dfrac{C_2}{x-1}\ ,\ \text{ pour } x\in]1;+\infty[\enar\right.\]

pour toutes constantes $C_1$ et $C_2$.

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