Équation différentielle - 2^nd ordre, coefficients constants

Résoudre $y''-4y'+3y=\sin(2x)$

Correction
L'équation homogène associée

a pour équation caractéristique

de racines

, et donc pour solutions $y(x)=Ae^x+Be^{3x}$ , $(A,B)\in\R^2$ .
On peut rechercher une solution particulière sour la forme $y(x)=a\cos(2x)+b\sin(2x)$ , pour laquelle $y''(x)-4y'(x)+3y(x)=(-a-8b)\cos(2x)+(-b+8a)\sin(2x)$ . On obtient ainsi une solution particulière en choisissant $\la\begin{array}{l}-a-8b=0\\8a-b=1\enar\right. \iff \la\begin{array}{l}a=\dfrac{8}{65}\\b=-\dfrac{1}{65}\enar\right.$ .
Les solutions de l'équation sont donc les fonctions $x\mapsto Ae^x+Be^{3x}+\dfrac{8}{65}\sin(2x)-\dfrac{8}{65}\cos(2x)$ .

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