@ccueil Colles

Espérance de l'inverse d'une loi de Poisson


Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda\geq0$.
Calculer l'espérance de la variable aléatoire $\dfrac1{1+X}$.

Correction
Soit la variable aléatoire $Y=\frac 1{1+X}$. Comme $X$ prend ses valeurs dans $\N$, $Y$ prend ses valeurs dans $\left\{\dfrac{1}{1+k};\ k\geq 0\right\}$ avec les probabilités
\[P\left(Y=\frac 1{1+k}\right)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}.\]


On calcule alors
\[\begin{array}{lcl}
E(Y)&=&\dsp\sum_{k\geq 0}\frac{1}{1+k}\tm\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\[1.2em]
&=&\dsp\sum_{k\geq 0}\frac{\lambda^k}{(k+1)!}e^{-\lambda}\\[1.4em]
&=&\dfrac1{\lambda}\dsp\sum_{k\geq 0}\dfrac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!}e^{-\lambda}\\[1.4em]
&=&\dfrac{e^{-\lambda}}{\lambda}\left(e^{\lambda}-1\right)\\[1em]
&=&\dfrac{1-e^{-\lambda}}{\lambda}.
\enar\]



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Tag:Variables aléatoires discrètes

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