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Estimation de pièces défectueuses produites


Estimation de pièces défectueuses produites
[.4em] Une usine fabrique des pièces dont une proportion inconnue $p$ est défectueuse, et on souhaite trouver une valeur approchée de $p$. On effectue un prélèvement de $n$ pièces. On suppose que le prélèvement se fait sur une population très grande, et donc qu'il peut s'apparenter à une suite de $n$ tirages indépendants avec remise. On note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses et on souhaite quantifier le fait que $X_n/n$ approche $p$.
  1. Quelle est la loi de $X_n$? Sa moyenne? Sa variance?
  2. Démontrer que, pour tout $\varepsilon>0$, $P\lp\left|\dfrac{X_n}n-p\right|\geqslant\varepsilon\rp\leqslant\dfrac 1{4n\varepsilon^2}.$
  3. En déduire une condition sur $n$ pour que $X_n/n$ soit une valeur approchée de $p$ à $10^{-2}$ près avec une probabilité supérieure ou égale à $95\%$.

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Tag:VA: inégalités & estimation

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