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Estimation de pièces défectueuses produites


Estimation de pièces défectueuses produites
[.4em] Une usine fabrique des pièces dont une proportion inconnue $p$ est défectueuse, et on souhaite trouver une valeur approchée de $p$. On effectue un prélèvement de $n$ pièces. On suppose que le prélèvement se fait sur une population très grande, et donc qu'il peut s'apparenter à une suite de $n$ tirages indépendants avec remise. On note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses et on souhaite quantifier le fait que $X_n/n$ approche $p$.
  1. Quelle est la loi de $X_n$? Sa moyenne? Sa variance?
  2. Démontrer que, pour tout $\varepsilon>0$, $P\lp\left|\dfrac{X_n}n-p\right|\geqslant\varepsilon\rp\leqslant\dfrac 1{4n\varepsilon^2}.$
  3. En déduire une condition sur $n$ pour que $X_n/n$ soit une valeur approchée de $p$ à $10^{-2}$ près avec une probabilité supérieure ou égale à $95\%$.

Correction
  1. $X_n$ est la somme de $n$ variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$, et donc $X_n$ suit une loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ et $E(X_n)=np$ et $V(S_n)=np(1-p)$.
  2. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'écrit
    \[P(|X_n-E(X_n)|\geqslant a)\leqslant\dfrac{V(X_n)}{a^2}\]

    Or,
    \[\left|\frac{X_n}n-p\right|\geqslant\varepsilon
  \iff|X_n-np|\geqslant n\varepsilon\iff |X_n-E(X_n)|\geq n\varepsilon\]

    On applique donc l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $a=n\varepsilon$ et on obtient
    \[P\Bigl(\left|\dfrac{X_n}n-p\right|\geqslant\varepsilon\Bigr)
  \leqslant\dfrac {p(1-p)}{n\varepsilon^2}\]

    De plus, sur $[0,1]$, la fonction $x\mapsto x(1-x)$ admet un maximum égal à $1/4$ en $1/2$, d'où le résultat voulu.
  3. On cherche $n$ tel que
    \[P\Bigl(\left|\dfrac{X_n}n-p\right|\leqslant10^{-2}\Bigr)\geqslant0,95\]

    soit encore, en passant à l'événement contraire
    \[P\Bigl(\left|\dfrac{X_n}n-p\right|\geqslant 10^{-2}\Bigr)\leqslant 0,05\]

    Il suffit donc de choisir $n$ tel que
    \[\dfrac{1}{4n10^{-4}}\leqslant0,05\iff n\geqslant 5\cdot 10^4\]

    .


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