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Estimation pour la loi géométrique


Soit $n$ un entier naturel et $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique $\mathcal G(1/n)$.
  1. Donner l'espérance et la variance de $X$.
  2. Montrer que $P(X\geq n^2)\leqslant\dfrac1n$.
  3. Montrer que $P(|X-n|\geqslant n)\leqslant 1-\dfrac1n$. En déduire que $P(X\geq 2n)\leqslant 1-\dfrac1n$.

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