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Estimation pour le lancer de dé


On jette 3600 fois un dé équilibré. Minorer la probabilité que le nombre d'apparitions du numéro 1 soit compris entre 500 et 700.

Correction
Soit $S$ la variable aléatoire égale au nombre d'apparitions du chiffre 1 au cours de ces lancers. $S$ suit une loi binomiale de paramètres 3600 et 1/6, et donc $E(S)=600$ et $V(S)=500$.
On a de plus
\[500\leqslant S\leqslant700\iff |S-E(S)|\leqslant100\]

puis, par l'inégalité de Bienaymé-Tchebichev,
\[P\Bigl(|S-E(S)\geqslant120\Bigr)\leqslant\dfrac{500}{100^2}\leq 0,05\]

On en déduit que
\[P(500\leqslant S\leqslant700)\geqslant 1-0,05=0,95\]

En particulier, la probabilité que le numéro 1 apparaisse entre 500 et 700 fois au cours de ces $3600$ lancers est supérieur à 0,95.

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Tag:VA: inégalités & estimation

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