@ccueil Colles

Étude d'une fonction


Étudier le sens de variation de la fonction $f:x\mapsto \dfrac{x+1}{x^2+x+1}$.
Tracer l'allure de sa courbe représentative.

Correction
Le trinôme $x^2+x+1$ pour discriminant $\Delta=-3<0$ et donc ne s'annule jamais sur $\R$, et ainsi $f$ est définie sur $\mathcal{D}_f=\R$.
On a de plus $f=\dfrac{u}{v}$ et $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$,
soit, pour tout $x$ réel,
\[\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac{1\left( x^2+x+1\rp-(x+1)(2x+1)}{\left( x^2+x+1\rp^2} \\[.8em]
&=\dfrac{-x^2-2x}{\left( x^2+x+1\rp^2}
=\dfrac{-x(x+2)}{\left( x^2+x+1\rp^2}\enar\]

On obtient alors le tableau de variation:
\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-2$ && $0$ && $+\infty$ \\\hline
$-x^2-x$ && $-$ &\zb& $+$ &\zb&$-$& \\\hline
$x^2+x+1$ && $+$ & $|$ &$+$&$|$ & $+$ &\\\hline
$f'(x)$ && $-$ &\zb& $+$ &\zb&$-$& \\\hline
&0&&&&1&&\\
$f$&&{\Large$\searrow$}&&{\Large$\nearrow$}&&{\Large$\searrow$}&\\
&&&$-\frac13$&&&&0\\\hline
\end{tabular}\]

en ajoutant les limites: $\dsp\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{x^2}
=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x}=0$
On a donc l'allure:

\[\begin{pspicture}(-5,-1)(5,2)
\psline[arrowsize=7pt]{->}(-5,0)(5,0)
\psline[arrowsize=7pt]{->}(0,-1)(0,2)
\psline(-2,.1)(-2,-.1)\rput(-2,.2){$-2$}
\psline(1,.1)(1,-.1)\rput(1,-.3){$1$}
\psline(-.1,1)(.1,1)\rput(-.2,1.25){$1$}

\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-5}{5}{x 1 add x 2 exp x add 1 add div}
\end{pspicture}\]



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