@ccueil Colles

Étude d'une fonction


Donner le sens de variation de la fonction $f:x\mapsto (x+2)e^{-x}$.
Tracer l'allure de sa courbe représentative.

Correction
$f$ est définie sur $\R$, et $f=uv$, donc $f'=u'v+uv'$, avec $v(x)=e^{-x}$, et donc $v'(x)=-e^{-x}$.
On obtient donc $f'(x)=1e^{-x}+(x+2)\left( -e^{-x}\right)
=-(x+1)e^{-x}$
On trouve donc le sens de variation de $f$:
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $+\infty$ \\\hline
$x+1$ && $-$ &\zb&$+$ &\\\hline
$e^{-x}$ && $+$ &$|$&$+$& \\\hline
$f'(x)$ && $+$ &\zb&$-$ &\\\hline
&&&$e$&&\\
$f$&&{\large$\nearrow$}&&{\large$\searrow$}&\\
&$-\infty$&&&&0\\\hline
\end{tabular}\]


\[\begin{pspicture}(-3,-3)(5.4,3.4)
\psline[arrowsize=7pt]{->}(-3,0)(5.4,0)
\psline[arrowsize=7pt]{->}(0,-3)(0,3.3)
\psline(-2,.1)(-2,-.1)\rput(-1.8,.2){$-2$}
\psline(1,.1)(1,-.1)\rput(1,-.3){$1$}
\psline(-.1,1)(.1,1)\rput(-.2,1.25){$1$}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-2.3}{5}{x 2 add 2.718 -1 x mul exp mul}
\end{pspicture}\]



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