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Étude de fonction, bijection et réciproque


  1. Rappeler la définition d'une fonction bijective.
  2. Démontrer que la fonction $f:\R\mapsto\R_+^*$ définie par $f(x)=\dfrac{e^x+2}{e^{-x}}$ est bijective.
  3. Tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$ de $f$, après avoir préciser les limites de $f$ en l'infini, et l'équation de la tangente en 0.
  4. Donner l'expression de sa fonction réciproque $f^{-1}$ et tracer sur le graphique précédent l'allure de sa courbe.

Correction
  1. voir cours...
  2. $f$ est dérivable sur $\R$ avec
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac{e^xe^{-x}-(e^x+2)(-e^{-x})}{(e^{-x})^2}\\[1em]
&=2\dfrac{1+e^{-x}}{e^{-2x}}\enar\]

    et, comme $e^X>0$ pour tout réel $X$, on a aussi $f'(x)>0$, et donc $f$ est strictement croissante sur sur $\R$.
    Comme de plus $f(x)=(e^x+2)e^x=e^{2x}+2e^x$, on a $\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ et $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ on en déduit que $f$ est une bijection de $\R$ sur $\R_+^*$.
  3. On a $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^x=0$ et $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty$, d'où $\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$.
    On en déduit en particulier que l'axe des abscisses (droite d'équation $y=0$) est une asymptote en $-\infty$ à $\mathcal{C}_f$.
    En $+\infty$, on a $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^x+2=+\infty$ et $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$ avec $e^{-x}>0$ d'où, par quotient des limites, $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$.

    La tangente en 0 a pour équation $y=f'(0)(x-0)+f(0)=4x+3$.
    Voir à la fin pour la courbe.
  4. Pour déterminer sa fonction réciproque, on pose $y=f(x)=e^{2x}+2e^x$, pour $y\in\R_+^*$ et on cherche à exprimer $x=f^{-1}(x)$.
    Soit $X=e^x$, alors on a $y=X^2+2X\iff X^2+2X-y=0$. C'est une équation du second degré de déterminant $\Delta=4+4y>0$ car $y>0$, et qui admet donc deux solutions réelles $X_1=\dfrac{-2-\sqrt{4+4y}}2=-1-\sqrt{1+y}$ et $X_2=\dfrac{-2+\sqrt{4+4y}}2=-1+\sqrt{1+y}$.
    Comme on a posé $X=e^x$ et que $X_1<0$ on a une seule solution: $X_2=e^x=-1+\sqrt{1+y}\iff x=\ln\lp-1+\sqrt{1+y}\rp$.
    Ainsi, la fonction réciproque de $f$ est définie par
    \[f^{-1}\la\begin{array}{lcl}R_+^*&\to&\R\\ y&\mapsto&\ln\lp-1+\sqrt{1+y}\rp\enar\right.\]


    Pour tracer sa courbe, on se rappelle que les courbe de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la 1ère bissectrice (droite $y=x$)

    \[\psset{xunit=1cm,yunit=.6cm}
  \begin{pspicture*}(-5,-5)(5,12)
  \psline(-5,0)(5,0)
  \psline(0,-5)(0,12)
  \rput[r](-.1,3){3}
  \psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{-5}{5}{2.718 x exp 2 add 2.718 x -1 mul exp div}
  \rput(.5,10){\blue$\mathcal{C}_f$}
  \psplot{-5}{4}{4 x mul 3 add}
  \psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{.01}{5}{-1 1 x add .5 exp add ln}
  \rput(5,1){\red$\mathcal{C}_{f^{-1}}$}
  \rput(3,.4){3}
  \psplot{-5}{5}{x}\rput(4,4.7){$y=x$}
  \end{pspicture*}\]




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