Étude de la convergence de la série
Étudier la convergence de la série de terme général
Correction
On peut écrire, (avec l'idée d'une décomposition en éléments simples, ou au moins de décomposer la partie entière),
![\[\begin{array}{ll}u_n&=\ln\lp\dfrac{n^2+n+1}{n^2+n-1}\rp\\[1.2em]
&=\ln\lp\dfrac{n^2+n-1}{n^2+n-1}+\dfrac{2}{n^2+n-1}\rp\\[1.2em]
&=\ln\lp1+\dfrac{2}{n^2+n-1}\right)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Series/excvg8_c/1.png)
et, comme en 0 on a
et que
, donc
![\[u_n\sim\dfrac{2}{n^2+n-1}\sim\dfrac2{n^2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Series/excvg8_c/4.png)
qui est le terme général d'une série de Riemann convergente, et la série est donc convergente.
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On peut écrire, (avec l'idée d'une décomposition en éléments simples, ou au moins de décomposer la partie entière),
et, comme en 0 on a
et que
, donc
qui est le terme général d'une série de Riemann convergente, et la série est donc convergente.
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Tag:Séries
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