@ccueil Colles

Étude de la convergence de la série


Étudier la convergence de la série de terme général $u_n=\ln\lp\dfrac{n^2+n+1}{n^2+n-1}\rp$

Correction
On peut écrire, (avec l'idée d'une décomposition en éléments simples, ou au moins de décomposer la partie entière),
\[\begin{array}{ll}u_n&=\ln\lp\dfrac{n^2+n+1}{n^2+n-1}\rp\\[1.2em]
&=\ln\lp\dfrac{n^2+n-1}{n^2+n-1}+\dfrac{2}{n^2+n-1}\rp\\[1.2em]
&=\ln\lp1+\dfrac{2}{n^2+n-1}\right)
\enar\]

et, comme en 0 on a $\ln(1+u)\sim u$ et que $\dfrac{2}{n^2+n-1}\to0$, donc
\[u_n\sim\dfrac{2}{n^2+n-1}\sim\dfrac2{n^2}\]

qui est le terme général d'une série de Riemann convergente, et la série est donc convergente.

Cacher la correction


Tag:Séries

Autres sujets au hasard: Lancer de dés